113年師大附中教師甄試詳解

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考題討論直播：113/04/06(日) 8：00 直播頻道連結

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答案：

$3$

SOL：

原式可整理為 $x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$ ，因為 $x>0$ ，所以 $x=-1$ 不合，故所有解之和為 $2+1=3$ 。#

答案：

$-8$

SOL：

原式合併後等於 $(1-16x^4)^5$ ，由二項式定理， $a=C^5_3(-16)^3$ ， $b=C^5_4(-16)^4$ 所以 $\frac{b}{a}=\frac{-16}{2}=-8$ 。#

答案：

$60$

SOL：

法一：

因為 $\displaystyle \sum^{12}_{i=1} b_i=0，\displaystyle \sum^{12}_{i=1} b^2_i=12$ ，則 $\displaystyle \sum^{12}_{i=1} a_ib_i=\displaystyle \sum^{12}_{i=1} (5b_i+13)b_i=5\times12=60$ 。#

法二：

因為變量 $a、b$ 的相關係數為 $1$ ，則 $\frac{ \sum^{12}_{i=1} a_ib_i-12\mu_x \mu_y}{12\sigma_x \sigma_y}=1\Rightarrow \displaystyle \sum^{12}_{i=1} a_ib_i =60$ 。#

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答案：

$5+\sqrt{6}$

SOL：

令 $P(x,y)$ ，則 $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=(1-x,7-y)\cdot(7-x,-1-y)=x^2-8x+y^2-6y=-19$ ，故 $(x-4)^2+(y-3)^2=6$ 。所以點 $P$ 在以 $(4,3)$ 為圓心，半徑 $\sqrt{6}$ 的圓上，因此 $\overline{OP}$ 的最大值為 $5+\sqrt{6}$ 。#

答案：

$\frac{49}{6}$

SOL：

對 $a$ 偏微， $6(3a-2b+1)+4(2a+b-2)+8(4a-5b-3)=0\Rightarrow 29a-24b=13$
對 $b$ 偏微， $-4(3a-2b+1)+2(2a+b-2)-10(4a-5b-3)=0\Rightarrow -24a+30b=-11$
$\cases{29a-24b=13 \\ -24a+30b=-11}\Rightarrow \cases{a=\frac{3}{7} \\ b=\frac{-1}{42}}$ ，代入算得最小值為 $\frac{49}{6}$ 。#

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答案：

$\frac{-2}{5}$

SOL：

令 $t=\frac{1}{x}$ ，則原式整理為 $\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sqrt[5]{1+3t+4t^2+3t^4}+\sqrt[3]{1+3t+4t^2+t^3}}{t}$
$\overset{L'}{=}\lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{5}(1+3t+4t^2+3t^4)^{-\frac{4}{5}}(3+8t+12t^3)-\frac{1}{3}(1+3t+4t^2+t^3)^{-\frac{2}{3}}(3+8t+3t^2)$
$=\frac{3}{5}-1=\frac{-2}{5}$ 。#

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答案：

$128$

SOL：

把原式微分， $f(x)+(x-1)f'(x)=4f(x) \Rightarrow 3f(x)=(x-1)f'(x)$ ，比較首相係數可推得 $f(x)$ 為三次多項式，且 $f(1)=0，f'(0)=6$ 。
令 $f(x)=(x-1)(ax^2+bx+2)=ax^3+(b-a)x^2+(2-b)x-2\Rightarrow f'(0)=2-b=6$ ，故 $b=-4$
$\int_{0}^{1} f(t)dt=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{4}+\frac{-4-a}{3}+3-2=-\frac{1}{2}\Rightarrow a=2$ ，故 $f(x)=2x^3-6x^2+6x-2$ ，則 $f(5)=128$ 。#

答案：

$\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}$

SOL：

$z$ 為斜 $18^{\circ}$ 的正八邊形的頂點，而 $\omega$ 為直線 $L：2x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$ 上的動點。
正八邊形的頂點中，在第一象限的頂點最接近直線，故 $A(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3})=A(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $B(\cos \frac{\pi}{10}, \sin \frac{\pi}{10})=B(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$ ，最接近直線。
代入點到直線的距離公式，
$d(A,L)=\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}\approx 0.3643$ ，且 $d(B,L)=\frac{\sqrt{42}+8\sqrt{21}-5\sqrt{14}}{28}\approx 0.8726$ ，所以最小值為 $\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}$ 。#

答案：

$12$

SOL：

$P(X\geq k)=1-（0.2+0.2(0.8)^1+0.2(0.8)^2+\cdots +0.2(0.8)^{k-2}）<0.1$ ，則 $(\frac{2}{5})^{k-1}<\frac{1}{10}\Rightarrow (k-1)(\log 8 -1)<\Rightarrow k-1>\frac{1000}{97} \approx 10.3\Rightarrow k>11.3$ ，故 $k=12$ 。#

答案：

$72$

SOL：

令 $t=x+y+z$ ，則原式可整理為 $\cases{tx=39 \\ ty=52 \\ tz=78}$ 三項相加 $t^2=169$ ，故 $t=x+y+z=13$ ，所以 $x=\frac{39}{t}=3$ 。同理， $y=4，z=6$ ，即 $abc=3\times 4 \times 6=72$ 。#