112年度 全國公私立分科 模考 數甲（B卷） 試題 詳解
SOL：
答案：(2)$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$$d=(\frac{1}{2})^5<1$故$c>2>b>1>d>0>1$
SOL：
答案：(5)因為$\frac{1}{3}\vec c =\frac{1}{3}(3\vec a+ 2\vec b)=\vec a+\frac{2}{3}\vec b$，故$\vec c 平行 (\vec a+\frac{2}{3}\vec b) $。
SOL：
答案：(4)。三角形的位置圖如下所示，直線要與之有共三交點，上下兩三角形交點數為$(1,2)或(2,1)$。
1.若交點為點$A$，則$m_{AD}=8$，$m_{AF}=-1$，故$m>8或m<-1$。2.若交點為點$B$，不會有三交點。3.若交點為點$C$，則$m_{CD}=2$，$m_{CF}=-3$，故$m>2或m<-3$。4.若交點為點$D$，則$m_{DA}=8$，$m_{DC}=2$，故$2<m<8$。5.若交點為點$E$，不會有三交點。6.若交點為點$F$，則$m_{FC}=-3$，$m_{FA}=-1$，故$-3<m<-1$。
故取聯集後最大範圍為$m>2或m<-1$。
SOL：
答案：(3)(4)(5)
SOL：
答案：(1)(2)(3)
SOL：
答案：(1)(2)(3)(4)
SOL：
答案：(3)(4)
SOL：
答案：(2)(5)
SOL：
答案：$2\sqrt{3}：3+\pi$
SOL：
答案：$38640$
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SOL：
答案：$21$
取一球的期望值等於$1\cdot\frac{1}{55}+2\cdot\frac{2}{55}+3\cdot\frac{3}{55}+\cdots+10\cdot\frac{10}{55}=\frac{1^2+2^2+\cdots+10^2}{55}=7$。故取三球的期望值等於$7\cdot3=21$。#
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SOL：
答案：(3)
兩平面一定不會平行，所以必相交於一直線。#
SOL：
$\cases{ 5y-z=-1-3t \\ -y+4z=11-t }\Rightarrow \cases{ 20y-4z=-4-12t \\ -y+4z=11-t }$，兩式相加算得$y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t$，且$z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t$故$L：\cases{x=t \\ y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t ,t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t} $#
SOL：
$L：\cases{x=t \\ y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t ,t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t} $
代入$E_3：x+7y+az+23=0$，可算得$(72+8a)t-486-54a=0$，任何實數$t$等號均成立，所以$a=-9$。#
代入$E_4：bx+20y-23z+58=0$，可算得$(19b-76)t=0$，等號不能對任何實$t$都成立，所以$b\neq4$。#
SOL：
正焦弦長等於$\frac{2b^2}{a}=\frac{6}{2}=3$。#
SOL：
$\triangle QF_1F_2的周長=(\overline{QF_1}+\overline{QF_2})+\overline{F_1F_2}=2a+2\sqrt{a^2-b^2}=2a+2\sqrt{a^2-a}$。
其中，$a^2-a>0$，故$a>1$。#
SOL：
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