115學年度 臺中一中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
一、 填充題甲（每題 5 分，共 20 分）
題目 1
設 $a, b, c$ 皆為正整數，且 $a < b < c$ 。已知 $a+b+c+ab+ca = 376$ ，則序對 $(a, b, c) = $ ________。
答：
(12, 13, 15)
詳解
1. 強迫因式分解技巧：
觀察原式 $a+b+c+ab+ca = 376$，我們可以將含 $a$ 的項與其餘項分離：
$a(1+b+c) + (b+c) = 376$。
2. 等量公理調整：
為了構造出共同公因式 $(b+c+1)$，我們將方程式兩邊同時加 1：
$a(b+c+1) + (b+c+1) = 376 + 1$
$(a+1)(b+c+1) = 377$。
3. 討論整數解：
將 377 進行質因數分解：$377 = 13 \times 29$。
由於 $a, b, c$ 為正整數且 $a < b < c$，故 $a+1 \ge 2$ 且 $b+c+1 \ge 6$。
已知 $b+c+1 > a+1$，考慮以下情況：
$\begin{cases} a+1 = 13 \\ b+c+1 = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 12 \\ b+c = 28 \end{cases}$。
4. 篩選序對：
滿足 $12 < b < c$ 且 $b+c=28$ 的正整數序對只有 $(b, c) = (13, 15)$。
（註：若 $b=14, c=14$ 則不符合相異且 $b < c$ 的條件）。
故序對 $(a, b, c) = (12, 13, 15)$。
