115學年度 排列組合試題整理與詳解

115學年度 排列組合試題整理與詳解

第一部分：試題與簡答 第二部分：詳細解析

一、 試題與簡答

1. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。 【答：1392】

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一、 填充題（15 題，每題 5 分，合計 75 分）

題目 1

求 $f(x) = x^{15} + 3x^{10} - x^5 - 2$ 除以 $x^4 - x^2$ 之餘式為何？

答：

$3x^2 - 2$

詳解

設餘式 $r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$ 
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$

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一、 填充題（14 題，每題 5 分）

題目 1

設實數 $\alpha$、$\beta$ 滿足 $\log \alpha^3 + 3\alpha - 6 = 0$，$10^{\beta+1} + 10\beta - 20 = 0$，則 $\alpha + \beta$ 的值為 ________。

答：

$2$

詳解

將方程式整理如下：
(1) $3\log\alpha + 3\alpha = 6 \implies \log\alpha = 2 - \alpha$
(2) $10 \cdot 10^{\beta} + 10\beta = 20 \implies 10^{\beta} = 2 - \beta$
令 $f(x) = \log x$ 與 $g(x) = 10^x$，觀察兩函數互為反函數，且圖形對稱於直線 $y = x$。
原題等同於求 $f(x) = 2 - x$ 之根 $\alpha$ 與 $g(x) = 2 - x$ 之根 $\beta$。
因 $y = 2 - x$ 亦對稱於 $y = x$，故點 $(\alpha, \log\alpha)$ 與 $(\beta, 10^\beta)$ 關於 $y = x$ 對稱。
由中點性質可知 $\frac{\alpha+\beta}{2} = 1$，如圖所示，故 $\alpha + \beta = 2$。

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第一部份：填充題（每題 6 分，共 60 分）

題目 1

在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB}=3$，$\overline{AC}=4$，$\overline{BC}=5$，$I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，$P$ 為 $\triangle IBC$ (包括邊界) 內的一點，若 $\vec{AP} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AC}$ ($\alpha, \beta \in \mathbb{R}$)，則 $\alpha + \beta$ 的最小值為 ________。

答：

$\frac{7}{12}$

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一、 填充題（每題 5 分，共 80 分）

題目 1

有大小相同的紅球、白球、黑球各 7 顆，若任意取出 7 顆球來排成一列，規定任兩顆紅球均不相鄰，則共有 ________ 種不同的排法。

答：

$1224$

詳解

使用遞迴關係式求解：

設 $a_n$ 為 $n$ 顆球排列，紅球不相鄰且最後一顆為紅球的排法數。
設 $b_n$ 為 $n$ 顆球排列，紅球不相鄰且最後一顆非紅球（白或黑）的排法數。

根據規則：
1. 若最後一顆是紅球，則前一顆必須是非紅球：$a_n = 1 \times b_{n-1}$。
2. 若最後一顆是非紅球（有 2 種選擇），則前一顆可以是紅球或非紅球：$b_n = 2 \times a_{n-1} + 2 \times b_{n-1}$。

初始值：
$n=1: a_1 = 1, b_1 = 2$
$n=2: a_2 = 2, b_2 = 2(1) + 2(2) = 6$
$n=3: a_3 = 6, b_3 = 2(2) + 2(6) = 16$
$n=4: a_4 = 16, b_4 = 2(6) + 2(16) = 44$
$n=5: a_5 = 44, b_5 = 2(16) + 2(44) = 120$
$n=6: a_6 = 120, b_6 = 2(44) + 2(120) = 328$
$n=7: a_7 = 328, b_7 = 2(120) + 2(328) = 896$

共有 $a_7 + b_7 = 328 + 896 = 1224$。 $\square$

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