115學年度 國立陽明交大附中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

115學年度 國立陽明交大附中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）

題目 1

有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。

答：

$\sqrt{2}-1$

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題目 2

$\sqrt{(60+10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}-(60-10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}} = $ ________。

答：

$10\sqrt{13}$

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題目 3

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。

答：

1392

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題目 4

坐標空間中，設 $A, B$ 兩點在某直線 $L$ 上的投影點分別為 $C, D$，已知 $AC=BD=4$，且 $\overline{AC}, \overline{BD}$ 兩直線的方程式分別為 $\overline{AC}:\frac{x-2}{2}=y-7=\frac{z+3}{2}, \overline{BD}:\frac{x-5}{2}=\frac{4-y}{2}=6-z$，則 $\overline{AB}$ 長度為 ________。

答：

9

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題目 5

若方程式 $\log_{2}|3x^{3}-18x+4\sqrt{2}|=k$ 恰有五個實根，則 $k = $ ________。

答：

$\frac{7}{2}$

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題目 6

已知三次函數 $f(x)=x(x-2)(x-4)$，則 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f(2+\frac{2i}{n})\right) = $ ________。

答：

-2

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題目 7

在空間中，直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$ 分別與平面 $E_{1}:x+y+z=3$ 和 $E_{2}:x-y+2z=5$ 交於 $A, B$ 兩點，設動點 $P$ 在 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 的交線上，則三角形 $\Delta PAB$ 面積的最小值為 ________。

答：

$\frac{6\sqrt{2}}{5}$

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題目 8

在坐標平面上，$O$ 為原點，圓 $O:x^{2}+y^{2}=4$ 有一弦 $\overline{AB}$ 在直線 $x=1$ 上，設動點 $P$ 在弦 $\overline{AB}$ 上，以 $OP$ 為弦心距的弦為 $\overline{MN}$，所有可能的 $\overline{MN}$ 所形成的區域面積為 ________。

答：

$2\pi-\frac{8}{3}$

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第 9 題

設 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 為複數，且 $\omega_{1}=\frac{1}{3}z_{1}+\frac{2}{3}z_{2}$，$\omega_{2}=\frac{3}{4}z_{1}+\frac{1}{4}z_{2}$。已知 $\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=1+\sqrt{3}i$，則 $\left| \frac{z_{2}}{z_{1}} \right| =$ ________。

答：

$\frac{73}{217}$

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題目 10

多項式 $f(x)$ 滿足 $xf(x-1)=(x-5)f(x)$ 且 $f(6)=1$，則 $f(\frac{5}{2}) = $ ________。

答：

$\frac{1}{512}$

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題目 11

在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=4, \overline{AC}=5, \angle A=2\theta, \theta$ 以弧度計。若 $\Delta ABC$ 的外接圓半徑為 $R(\theta)$，則 $\lim_{\theta\rightarrow0}[R(\theta)\cdot\theta] = $ ________。

答：

$\frac{1}{4}$

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題目 12

學期成績以平常成績的 40% 加上段考成績的 60% 計算，已知某班同學平常成績的標準差為 20 分，段考成績的標準差為 15 分，學期成績的標準差為 13 分，則平常成績與段考成績的相關係數為 ________。

答：

$\frac{1}{6}$

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第 13 題

在某瀕危石虎的復育計畫中，研究員將石虎的活動範圍簡化為一條線性的棲地路徑，由左至右劃分為編號 0, 1, 2, 3, 4, 5 的六個區塊。已知當石虎進入編號 5 的區塊（核心保護區）後，將獲得永久安全不再移動；若進入編號 0 的區塊（開發密集區），則會因環境威脅而消失。若該石虎每日向右移動一個區塊（編號增加 1）的機率為 0.6，向左移動一個區塊（編號減少 1）的機率為 0.4，且該石虎目前位於編號 2 的區塊，則它最終成功到達編號 5 區塊（核心保護區）的機率為 ________。

答：

$\frac{135}{211}$

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二、 計算證明題（共 22 分）

計算 1

在空間坐標系中，設 $\Gamma$ 為一底面落在 $xy$ 平面上之直圓錐，其底面圓方程式為 $x^2 + y^2 \le 4$，頂點為 $V(0,0,6)$。設平面 $E_h : z = h$（其中 $0 < h < 6$）與 $\Gamma$ 相截之截痕為圓 $C_h$。若 $R_h$ 為 $C_h$ 之內接矩形，則以 $R_h$ 為底面、原點 $O(0,0,0)$ 為頂點之四角錐體積的最大值為何？

答：

$\frac{64}{27}$

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計算 2

設 $f(x)=123x^{2}+234x-345$,三次多項式 $g(x)$ 的首項係數為 1,且 $y=g(x)$ 的圖形通過點 $(114,f(114)),(115,f(115)),(116,f(116))$。若 $y=g(x)$ 在 $x=115$ 附近的一次近似函數為 $h(x)$, 則 $x=114, x=116, y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 的圖形所圍成的區域面積為何？

答：

$82$

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計算 3

實係數三次多項式 $f(x)$ 有三相異實根，證明：$[f'(x)]^2 \ge f(x)f''(x)$ 對所有實數成立。

答：

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出處：國立陽明交通大學附屬高級中學 115 學年度教師甄選試題卷

 

113年 師大附中 教師甄試詳解

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答案：$3$

SOL：

原式可整理為$x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$，因為$x>0$，所以$x=-1$不合，故所有解之和為$2+1=3$。#

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$

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SOL：

答案：D 

$$\cases{x^2+\sqrt{3}y=4 \\ y^2+\sqrt{3}x=4}$$

兩式相減，算得$x+y=\sqrt{3}\Rightarrow x^2+2xy+y^2=3$。

兩式相加，算得$x^2+y^2+\sqrt{3}(x+y)=8\Rightarrow 3-2xy+3=8\Rightarrow xy=-1$

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2+x^2}{xy}=\frac{3+2}{-1}=-5$。#

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$

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SOL：

答案：(3)

數據最集中是另外八科均為平均分數，此時平均分數為$70$分，故$\sigma=\sqrt{\frac{(100-70)^2+(40-70)^2}{10}}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13.4$，所以$k$最接近$13$。#

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SOL：

答案：(5)

因為$100A-A=ab.\overline{ab}-0.\overline{ab}=ab\Rightarrow A=\frac{ab}{99}$，同理$1000B-B=aba.\overline{aba}-0.\overline{aba}=\frac{aba}{999}$

$A-B=\frac{999\cdot(10a+b)-99\cdot(100a+10b+a)}{99\cdot999}=\frac{b-a}{11\cdot999}$，故$b-a$最小值為$1$，因此$(a,b)=(0,1),(1,2)\cdots(8,9)$共九組。#