一番賞中的數學力

💡 前言：一番賞中的數學力

近年「一番賞」在台灣非常熱門，許多玩家為了抽中最後賞或集滿全套公仔不惜重金。但你有沒有學過，如果要集滿特定款式的公仔，平均到底要抽多少次？

假設今天有一款一番賞，內含 A、B、C、D 四種公仔，剩下的籤數分別為 2支、3支、4支、10支。小明想要集滿這四種公仔各至少一個，他需要抽取的次數期望值是多少呢？

在進入繁瑣的理論計算之前，不妨先透過底下的 YY Math 模擬工具 實測看看！你可以設定不同的重複次數，親眼見證機率如何在「大數法則」下趨近於真實的期望值。

北一女中 108學年度第二學期期末考 高一數學科試題與詳解

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一、 是非題（每題 2 分，共 10 分）

題目 1

正九邊形的對角線共有 36 條。

答：

❌

詳解

$n$ 邊形對角線共有 $C^n_2 - n$ 條。
正九邊形對角線為 $C^9_2 - 9 = 36 - 9 = 27$ 條。題目敘述為 36 條，故錯誤。

115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解

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本卷詳解已全數製作完畢！

感謝您的耐心等待，若有任何解法上的疑問，歡迎在下方留言討論。

一、 填充題（每題 7 分，共 70 分）

題目 1

與 $115$ 互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：$1, 2, 3, 4, 6, 7, \dots$，試問此數列第 $2026$ 項為何？

答：

2647

詳解

1. 首先將 $115$ 質因數分解：$115 = 5 \times 23$。

2. 利用排容原理計算 $1$ 到 $115$ 中與 $115$ 互質的個數：
$\phi(115) = 115(1 - \frac{1}{5})(1 - \frac{1}{23}) = 115 \times \frac{4}{5} \times \frac{22}{23} = 88$。

3. 我們找第 $2026$ 項：$2026 = 88 \times 23 + 2$。

4. 這代表經過了 $23$ 個週期（每個週期 $115$），剩下的第 $2$ 個數是 $2$。
所求 $= 115 \times 23 + 2 = 2645 + 2 = 2647$。

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