115學年度 臺北市立中正高級中學 第1次專任教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（每題 6 分）

題目 1

等差數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_7=1$ 且公差 $d > 0$，若 $\sum_{k=1}^{11} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1} \cdot a_{k+2}} = 11$，則公差 $d =$ ________。

答：

$\frac{\sqrt{61}}{30}$

115學年度 數學詳解總匯

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115學年度 國立羅東高中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（共 16 題，每題 5 分，合計 80 分）

題目 1

設 $a, b, c \in \mathbb{R}$，且 $abc=1$，$ab+bc+ca-3abc=0$，$a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$，求 $\frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} + \frac{1}{1-ab}$ 之值。

答：

$1$

115學年度 排列組合試題整理與詳解

115學年度 排列組合試題整理與詳解

第一部分：試題與簡答 第二部分：詳細解析

一、 試題與簡答

1. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。 【答：1392】

114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（15 題，每題 5 分，合計 75 分）

題目 1

求 $f(x) = x^{15} + 3x^{10} - x^5 - 2$ 除以 $x^4 - x^2$ 之餘式為何？

答：

$3x^2 - 2$

詳解

設餘式 $r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$ 
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$

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