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115學年度 臺中一中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

115學年度 臺中一中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

一、 填充題甲（每題 5 分，共 20 分）

題目 1

設 $a, b, c$ 皆為正整數，且 $a < b < c$ 。已知 $a+b+c+ab+ca = 376$ ，則序對 $(a, b, c) = $ ________。

答：

(12, 13, 15) 

詳解

1. 強迫因式分解技巧：
觀察原式 $a+b+c+ab+ca = 376$，我們可以將含 $a$ 的項與其餘項分離：
$a(1+b+c) + (b+c) = 376$。

2. 等量公理調整：
為了構造出共同公因式 $(b+c+1)$，我們將方程式兩邊同時加 1：
$a(b+c+1) + (b+c+1) = 376 + 1$
$(a+1)(b+c+1) = 377$。

3. 討論整數解：
將 377 進行質因數分解：$377 = 13 \times 29$。
由於 $a, b, c$ 為正整數且 $a < b < c$，故 $a+1 \ge 2$ 且 $b+c+1 \ge 6$。
已知 $b+c+1 > a+1$，考慮以下情況：
$\begin{cases} a+1 = 13 \\ b+c+1 = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 12 \\ b+c = 28 \end{cases}$。

4. 篩選序對：
滿足 $12 < b < c$ 且 $b+c=28$ 的正整數序對只有 $(b, c) = (13, 15)$。
（註：若 $b=14, c=14$ 則不符合相異且 $b < c$ 的條件）。

故序對 $(a, b, c) = (12, 13, 15)$。

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一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）

題目 1

有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。

答：

$\sqrt{2}-1$

詳解

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考題討論直播：113/04/06(日) 8：00 直播頻道連結

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答案：$3$

SOL：

原式可整理為$x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$，因為$x>0$，所以$x=-1$不合，故所有解之和為$2+1=3$。#

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$