從 AI 的錯誤中找靈感：用托勒密定理與裂項相消破解三角函數難題

從 AI 的錯誤中找靈感：用托勒密定理與裂項相消破解三角函數難題

最近在撰寫 115 學年度高雄市教師聯合甄選詳解時，遇到一道相當有意思的三角函數題。一開始我嘗試利用傳統三角恆等式處理，結果越算越長，始終找不到一條漂亮的路徑。後來乾脆把題目丟給 AI 試試看，沒想到 AI 竟然算錯了。

不過有趣的是，雖然答案錯了，但它的推導過程反而給了我一個靈感，最後竟然找到一個非常漂亮的裂項相消（Telescoping）解法。今天就一起來看看這道題目。

假設檢定是什麼？108課綱教了拒絕域，卻沒告訴你它真正想解決的問題

這學期的數學科教學研究會，科召集人請我針對 108 課綱高三數甲新加入的單元——「假設檢定」，向科內老師進行分享。為此，我仔細研讀了課本對該單元的介紹。真的是不看不知道，一看嚇一跳！看完後的感想是：現行課綱似乎壓根沒有打算教會學生「什麼是假設檢定」。

假設檢定被安排在二項分布之後，課本讀起來的感覺，僅是將其視為二項分布在生活應用中的延伸，彷彿只是為了說明二項分布很有用。至於假設檢定背後的「數學理論」、「操作注意事項」以及「產生的誤差風險」等核心議題，課本幾乎隻字未提。這不禁讓我懷疑：108 課綱真的有打算讓學生理解假設檢定嗎？

為什麼老師總能想出為難學生的難題？一題看懂如何用「出題者視角」將幾何代數秒殺！

今天我們來聊聊一個話題：數學老師到底是怎麼設計題目的？為什麼老師們總能想出那些看似精妙、卻把學生為難到不行的難題呢？😏

前幾天我在看李翰老師的 YouTube 頻道影片，裡面講解了一道非常漂亮的題目：

【經典試題再現】
已知直角三角形三邊長滿足 $a^2+b^2=c^2$，且滿足： $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = \frac{17}{20}$$ 求 $\frac{a}{b}$ 的值。