115學年度 國立麗山高中 教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（14 題，每題 5 分）

題目 1

設實數 $\alpha$、$\beta$ 滿足 $\log \alpha^3 + 3\alpha - 6 = 0$，$10^{\beta+1} + 10\beta - 20 = 0$，則 $\alpha + \beta$ 的值為 ________。

答：

$2$

詳解

將方程式整理如下：
(1) $3\log\alpha + 3\alpha = 6 \implies \log\alpha = 2 - \alpha$
(2) $10 \cdot 10^{\beta} + 10\beta = 20 \implies 10^{\beta} = 2 - \beta$
令 $f(x) = \log x$ 與 $g(x) = 10^x$，觀察兩函數互為反函數，且圖形對稱於直線 $y = x$。
原題等同於求 $f(x) = 2 - x$ 之根 $\alpha$ 與 $g(x) = 2 - x$ 之根 $\beta$。
因 $y = 2 - x$ 亦對稱於 $y = x$，故點 $(\alpha, \log\alpha)$ 與 $(\beta, 10^\beta)$ 關於 $y = x$ 對稱。
由中點性質可知 $\frac{\alpha+\beta}{2} = 1$，如圖所示，故 $\alpha + \beta = 2$。

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第一部份：填充題（每題 6 分，共 60 分）

題目 1

在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB}=3$，$\overline{AC}=4$，$\overline{BC}=5$，$I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，$P$ 為 $\triangle IBC$ (包括邊界) 內的一點，若 $\vec{AP} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AC}$ ($\alpha, \beta \in \mathbb{R}$)，則 $\alpha + \beta$ 的最小值為 ________。

答：

$\frac{7}{12}$

詳解

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一、 填充題（每題 5 分，共 80 分）

題目 1

有大小相同的紅球、白球、黑球各 7 顆，若任意取出 7 顆球來排成一列，規定任兩顆紅球均不相鄰，則共有 ________ 種不同的排法。

答：

$1224$

詳解

使用遞迴關係式求解：

設 $a_n$ 為 $n$ 顆球排列，紅球不相鄰且最後一顆為紅球的排法數。
設 $b_n$ 為 $n$ 顆球排列，紅球不相鄰且最後一顆非紅球（白或黑）的排法數。

根據規則：
1. 若最後一顆是紅球，則前一顆必須是非紅球：$a_n = 1 \times b_{n-1}$。
2. 若最後一顆是非紅球（有 2 種選擇），則前一顆可以是紅球或非紅球：$b_n = 2 \times a_{n-1} + 2 \times b_{n-1}$。

初始值：
$n=1: a_1 = 1, b_1 = 2$
$n=2: a_2 = 2, b_2 = 2(1) + 2(2) = 6$
$n=3: a_3 = 6, b_3 = 2(2) + 2(6) = 16$
$n=4: a_4 = 16, b_4 = 2(6) + 2(16) = 44$
$n=5: a_5 = 44, b_5 = 2(16) + 2(44) = 120$
$n=6: a_6 = 120, b_6 = 2(44) + 2(120) = 328$
$n=7: a_7 = 328, b_7 = 2(120) + 2(328) = 896$

共有 $a_7 + b_7 = 328 + 896 = 1224$。 $\square$

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一、 填充題（每題 6 分，共 72 分）

題目 1

已知 $z, w$ 皆為非零複數，且滿足 $|z-2w|=3$。若 $\frac{z}{w}$ 的主幅角為 $\frac{\pi}{3}$，則 $|z|+|w|$ 的最大值為 ________。 

答：

$\sqrt{21}$ 

詳解

（詳解製作中...）

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第壹部分、填充題（每題 6 分，共 60 分）

題目 1

設 $z$ 為複數且 $|z|=1$，求 $|z^2+2z-2|$ 的最大值。

答：

$\frac{3\sqrt{6}}{2}$

詳解

(1) 代數化簡與參數化：

欲求 $|z^2+2z-2|$，利用 $|z|=1$ 的性質，可提取 $|z|$ 得：
$|z^2+2z-2| = |z| \cdot |z + 2 - \frac{2}{z}| = |z - \frac{2}{z} + 2|$
令 $z = \cos\theta + i\sin\theta$，則 $\frac{1}{z} = \bar{z} = \cos\theta - i\sin\theta$。

(2) 展開計算：

將參數代入式中：
$|(\cos\theta + i\sin\theta) - 2(\cos\theta - i\sin\theta) + 2|$
$= |-\cos\theta + 3i\sin\theta + 2|$
$= |(2 - \cos\theta) + 3i\sin\theta|$
其值為：
$\sqrt{(2 - \cos\theta)^2 + (3\sin\theta)^2}$
$= \sqrt{4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta + 9\sin^2\theta}$
利用 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 變換：
$= \sqrt{4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta + 9(1 - \cos^2\theta)}$
$= \sqrt{-8\cos^2\theta - 4\cos\theta + 13}$

(3) 求極值：

令 $f(\cos\theta) = -8\cos^2\theta - 4\cos\theta + 13$。這是一個開口向下的二次函數。
頂點發生在 $\cos\theta = -\frac{-4}{2(-8)} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$ 時。
將 $\cos\theta = -\frac{1}{4}$ 代入：
$f(-\frac{1}{4}) = -8(\frac{1}{16}) - 4(-\frac{1}{4}) + 13 = -\frac{1}{2} + 1 + 13 = \frac{27}{2}$。
故最大值為 $\sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$。$\square$

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一、 填充題（每格 8 分，共 72 分）

題目 1

已知函數 $f(x)=a\sin x+b\cos x+c$  ($0\le x < 2\pi)$ 的最大值為 7，最小值為 3，且最大值發生在 $x=\frac{\pi}{3}$，則序對 $(a,b,c)=$ ________。

答：

$(\sqrt{3}, 1, 5)$

詳解

1. 函數疊合與參數設定：
將函數進行疊合：$y - c = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \theta)$。

2. 求中心值 $c$ 與振幅：
根據最大值 7 與最小值 3：
中心值 $c = \frac{7+3}{2} = 5$。
振幅 $\sqrt{a^2+b^2} = \frac{7-3}{2} = 2$。

3. 利用最大值發生的相位求 $\theta$：
題目已知當 $x = \frac{\pi}{3}$ 時有最大值，此時正弦函數相位應為 $\frac{\pi}{2}$：
$\frac{\pi}{3} + \theta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$。

4. 帶回函數式展開：
$y - 5 = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$
利用和角公式展開：
$y - 5 = 2 (\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6})$
$y - 5 = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$
$y - 5 = \sqrt{3} \sin x + 1 \cdot \cos x$
對照係數可得 $a = \sqrt{3}, b = 1, c = 5$。
故序對 $(a,b,c) = (\sqrt{3}, 1, 5)$。

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一、 填充題甲（每題 5 分，共 20 分）

題目 1

設 $a, b, c$ 皆為正整數，且 $a < b < c$ 。已知 $a+b+c+ab+ca = 376$ ，則序對 $(a, b, c) = $ ________。

答：

(12, 13, 15) 

詳解

1. 強迫因式分解技巧：
觀察原式 $a+b+c+ab+ca = 376$，我們可以將含 $a$ 的項與其餘項分離：
$a(1+b+c) + (b+c) = 376$。

2. 等量公理調整：
為了構造出共同公因式 $(b+c+1)$，我們將方程式兩邊同時加 1：
$a(b+c+1) + (b+c+1) = 376 + 1$
$(a+1)(b+c+1) = 377$。

3. 討論整數解：
將 377 進行質因數分解：$377 = 13 \times 29$。
由於 $a, b, c$ 為正整數且 $a < b < c$，故 $a+1 \ge 2$ 且 $b+c+1 \ge 6$。
已知 $b+c+1 > a+1$，考慮以下情況：
$\begin{cases} a+1 = 13 \\ b+c+1 = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 12 \\ b+c = 28 \end{cases}$。

4. 篩選序對：
滿足 $12 < b < c$ 且 $b+c=28$ 的正整數序對只有 $(b, c) = (13, 15)$。
（註：若 $b=14, c=14$ 則不符合相異且 $b < c$ 的條件）。

故序對 $(a, b, c) = (12, 13, 15)$。

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一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）

題目 1

有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。

答：

$\sqrt{2}-1$

詳解

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