115學年度 臺中市立臺中女中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
目前進度：題目與簡答已全數上線。詳解內容正由 歪歪數學 趕工製作中，請稍候。
一、 填充題（每題 5 分，共 80 分）
題目 2
坐標平面上，$O$ 為原點、$A(7,0)$、$B(0,4)$、$M$、$N$ 分別為 $x$ 軸與 $y$ 軸正向上的動點。若 $P$ 在 $\overline{MN}$ 上，$\overline{PM}=4$ 且 $\overline{PN}=7$，則四邊形 $OAPB$ 面積的最大值為 ________。
答：
$14\sqrt{2}$
詳解
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題目 3
如右圖，直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B=90^{\circ}, \overline{AB}=5, \overline{BC}=12$，有兩個大小相同的圓彼此相切，且各自跟三角形 $ABC$ 的斜邊及一股也相切，則兩圓的外公切線段長為 ________。
答：
$\frac{52}{17}$
詳解
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題目 4
空間中有相異四點 $A, B, C, D$，滿足 $\overline{AB}=1, \overline{AC}=2, \overline{AD}=3$ 且 $\angle BAC=60^{\circ}, \angle CAD=60^{\circ}, \angle DAB=60^{\circ}$，則點 $A$ 到平面 $BCD$ 的距離為 ________。
答：
$\frac{2\sqrt{6}}{5}$
詳解
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題目 5
設兩數列 $\langle a_{n} \rangle, \langle b_{n} \rangle$ 的首項分別為 $a_{1}=5, b_{1}=1$ 且 $a_{n+1}=a_{n}+2b_{n}, b_{n+1}=2a_{n}+b_{n}$，$n$ 為任意正整數，則一般項 $a_n =$ ________。
答：
$3^n + 2(-1)^n$
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題目 6
使不等式 $|C_{1}^{n}(-3)^{2}+2C_{2}^{n}(-3)^{3}+3C_{3}^{n}(-3)^{4}+\cdots+nC_{n}^{n}(-3)^{n+1}| < 10^{5}$ 成立的最大正整數 $n$ 為 ________。
答：
$10$
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題目 7
圓內接四邊形 $ABCD$ 中，$AB=2, BC=3, CD=4, DA=5$，若 $\vec{AC}=m\vec{AB}+n\vec{AD}$，則數對 $(m,n)=$ ________。
答：
$(\frac{22}{13}, \frac{33}{65})$
詳解
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題目 8
已知 $\triangle ABC$ 的三邊長為 $\overline{AB}=4, \overline{BC}=5, \overline{CA}=6$。若 $H$ 為 $\triangle ABC$ 之垂心，則 $\overline{AH}=$ ________。
答：
$\frac{9\sqrt{7}}{7}$
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題目 9
$\alpha, \beta, \gamma$ 為複數，在複數平面上對應的點分別為 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$，滿足 $\alpha^2 + 3\beta^2 + 4\gamma^2 - 2\alpha\gamma - 6\beta\gamma = 0$ 及 $|\alpha - \beta| = 10$，則 $\triangle ABC$ 的面積為 ________。
答：
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
詳解
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題目 10
已知 $x > 1$ 且 $y > 4$，則 $\frac{y^2}{x-1} + \frac{x^2}{y-4}$ 之最小值為 ________。
答：
$20$
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題目 11
$\triangle ABC$ 的三邊長分別為 $\overline{AB}=4, \overline{BC}=7, \overline{CA}=6$，$\angle BAC$ 的內角平分線交 $\overline{BC}$ 於 $D$，$\overline{AD}$ 的中垂線交 $\overline{BC}$ 於 $P$ 點，則 $\overline{BP}$ 的長為 ________。
答：
$\frac{28}{5}$
詳解
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題目 12
設實係數多項式 $f(x)=ax^3+bx^2-cx-d$。已知方程式 $f(x)=0$ 的三個根分別為 $\cos\frac{2\pi}{7}, \cos\frac{4\pi}{7}, \cos\frac{6\pi}{7}$，則 $20 \log_2 a - 2 \log_2 b - 6 \log_2 c - 12 \log_2 d =$ ________。
答：
$44$
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題目 13
$\triangle ABC$ 中，若 $2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{BA} \cdot \vec{BC}$ 且 $\cos C = \frac{12}{13}$，則 $\tan A =$ ________。
答：
$1 + \sqrt{3}$
詳解
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題目 14
設 $a, b, c$ 為實數且滿足 $\begin{cases}0 \le a+b+c \le 4 \\ -2 \le 4a+2b+c \le 2 \\ -4 \le 9a+3b+c \le 0 \end{cases}$。若 $6a-2b+4c$ 的最大值與最小值分別為 $M$ 與 $m$，則數對 $(M, m) =$ ________。
答：
$(112, -72)$
詳解
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題目 15
設 $x, y$ 為兩實數，若 $x^2+2xy+2y^2=1$，則 $x^2+y^2$ 的最大值為 ________。
答：
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
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題目 16
空間中有四個平面：$E_1: x+y+z=0$、$E_2: x+y+z=6$、$E_3: x+y+z=18$、及 $E_4: x-y+z=0$。若在平面 $E_4$ 上有一正三角形 $ABC$，而點 $A, B, C$ 也分別在平面 $E_1, E_2, E_3$ 上，則 $\triangle ABC$ 的面積為 ________。
答：
$\frac{63\sqrt{3}}{2}$
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二、 計算證明題（共 20 分）
題目 1
設 $a, b, c, d$ 為實數且 $a \neq b, c \neq d$。$f(x), g(x)$ 為滿足 $f(a)=f(b)$ 及 $g(c)=g(d)$ 的實係數二次多項式。已知 $f(x)-g(x)$ 為常數多項式，試證明：
(1) $a+b=c+d$。(4分)
(2) $\frac{f(a)-f(\frac{a+b}{2})}{g(c)-g(\frac{c+d}{2})} = \left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2$。(8分)
答：
詳見證明過程
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題目 2
試問方程式 $x + \sqrt{12 + 8(\log_{4}x^2) - 4(\log_{4}x^2)^2} = 1$ 共有幾個不同的實根？(8分)
答：
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