114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（15 題，每題 5 分，合計 75 分）

題目 1

求 $f(x) = x^{15} + 3x^{10} - x^5 - 2$ 除以 $x^4 - x^2$ 之餘式為何？

答：

$3x^2 - 2$

詳解

設餘式 $r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$ 
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$

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題目 2

求 $\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \dots + \frac{1}{13 \times 14 \times 15} = ?$

答：

$\frac{26}{105}$

詳解

利用拆項對消公式：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$
原式 $= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{13 \times 14} - \frac{1}{14 \times 15} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{210} \right)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{105 - 1}{210} = \frac{1}{2} \times \frac{104}{210}$
$= \frac{52}{210} = \frac{26}{105}$

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題目 3

等差數列 $\langle a_n \rangle$，公差為 3，若 $\displaystyle \sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{a_n \times a_{n+1}} = \frac{1}{42}$，求首項？

答：

$2$

詳解

利用級數拆項：$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$，其中公差 $d=3$
$\displaystyle \sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{3} \lim_{k \to \infty} \left( \frac{1}{a_5} - \frac{1}{a_6} + \frac{1}{a_6} - \frac{1}{a_7} + \dots + \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$
$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a_5} - 0 \right) = \frac{1}{42}$
$\implies \frac{1}{3a_5} = \frac{1}{42} \implies a_5 = 14$
由於 $a_5 = a_1 + 4d = a_1 + 4(3) = 14$
故首項 $a_1 = 2$

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題目 4

一級數：$1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+\dots+$ 第 120 項，求此級數的和？

答：

$1240$

詳解

數字 $n$ 會出現 $n$ 次。設第 120 項落在第 $k$ 群中：
$\displaystyle \frac{k(k+1)}{2} \le 120 \implies k(k+1) \le 240$
當 $k=15$ 時，$\frac{15 \times 16}{2} = 120$，故第 120 項剛好是數字 15 的最後一個。
級數和 $= 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 15^2$
$\displaystyle = \sum_{n=1}^{15} n^2 = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 1240$

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題目 5

設 $x^3 + ax^2 + 2x - 1$ 與 $x^3 + bx^2 + 1$ 之最高公因式為二次式，試求序對 $(a,b) = ?$

答：

$(-2, 0)$

詳解

利用輾轉相除法原理，兩式相減可得最高公因式（GCD）的常數倍：
$(x^3 + ax^2 + 2x - 1) - (x^3 + bx^2 + 1) = (a-b)x^2 + 2x - 2$
令此二次式為 $g(x) = (a-b)x^2 + 2x - 2$。則原式 $x^3 + bx^2 + 1$ 必可被 $g(x)$ 整除。
由 $x^3$ 項與常數項對照，設：
$\displaystyle x^3 + bx^2 + 1 = \left[ (a-b)x^2 + 2x - 2 \right] \left( \frac{1}{a-b}x - \frac{1}{2} \right)$
展開右式對照係數：
1. $x$ 項係數應為 0：
$\displaystyle 0 = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + (-2) \cdot \frac{1}{a-b} \implies 0 = -1 - \frac{2}{a-b}$
解得 $\displaystyle \frac{2}{a-b} = -1 \implies a-b = -2$
2. $x^2$ 項係數為 $b$：
$\displaystyle b = (a-b) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 2 \cdot \frac{1}{a-b}$
將 $a-b = -2$ 且 $\displaystyle \frac{1}{a-b} = -\frac{1}{2}$ 代入：
$\displaystyle b = (-2) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 1 - 1 = 0$
最後由 $a-b = -2$ 且 $b=0$ 得 $a = -2$。
故序對 $(a, b) = (-2, 0)$。

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題目 6

設 $k$ 為實數，方程式 $x|x-2| = k$ 恰有一實數解，則 $k$ 的範圍為？

答：

$k > 1 \text{ 或 } k < 0$

詳解

繪製 $y = x|x-2|$ 之圖形：
1. 當 $x \ge 2$，$y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$
2. 當 $x < 2$，$y = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1$
函數在 $x=1$ 有局部極大值 $y=1$，在 $x=2$ 有局部極小值 $y=0$。
觀察水平線 $y=k$ 與圖形交點：
- $k > 1$：1 個交點
- $k = 1$：2 個交點
- $0 < k < 1$：3 個交點
- $k = 0$：2 個交點
- $k < 0$：1 個交點
故恰有一解之範圍為 $k > 1$ 或 $k < 0$。

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題目 7

設 $x = 1 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$，求 $x^3 - 3x^2 - 6x + 5$ 的值為？

答：

$9$

詳解

令 $a = \sqrt[3]{3}$，則 $a^2 = \sqrt[3]{9}$，$a^3 = 3$。
由題意可知 $x = 1 + a + a^2 \implies x-1 = a + a^2$。
將所求式 $x^3 - 3x^2 - 6x + 5$ 改寫為以 $(x-1)$ 表示的多項式：
原式 $= (x-1)^3 - 9(x-1) - 3$
代入 $x-1 = a + a^2$：
$= (a + a^2)^3 - 9(a + a^2) - 3$
$= [a(1+a)]^3 - 9(a + a^2) - 3$
$= a^3(1+a)^3 - 9(a + a^2) - 3$
$= 3(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - 9a - 9a^2 - 3$
$= 3a^3 + 9a^2 + 9a + 3 - 9a - 9a^2 - 3$
$= 3a^3 = 3(3) = 9$。
故所求之值為 $9$。

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題目 8

函數 $f(x) = ||x|-2|$ 與直線 $y = mx+5$ 恰相交於一點，則實數 $m$ 的範圍為？

答：

$m \ge 1$ 或 $m \le -1$

詳解

1. 繪製 $y = ||x|-2|$ 之圖形：
該圖形為 $y = |x|-2$ 的負部折返，呈「W」型，關鍵點為 $(-2,0), (0,2), (2,0)$。
2. 直線 $L: y = mx+5$ 恆過定點 $P(0, 5)$。
3. 觀察 $P(0, 5)$ 與 W 圖形的交點狀況：
- 當 $m=0$ 時，水平線 $y=5$ 與 W 圖形有 2 個交點。
- 當直線 $L$ 通過 $(2,0)$ 時，斜率 $m = \frac{0-5}{2-0} = -\frac{5}{2}$。
- 關鍵斜率：W 圖形右側兩支射線的斜率分別為 $1$ 與 $-1$。
- 當 $m \ge 1$ 時，直線比右側射線 $y=x-2$ 更陡，僅會在左側交於一點。
- 當 $m \le -1$ 時，直線比左側射線 $y=-x-2$ 更陡，僅會在右側交於一點。
- 當 $-1 < m < 1$ 時，直線會橫穿 W 型的上方，產生 2 個交點。
故恰有一交點之範圍為 $m \ge 1$ 或 $m \le -1$。

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題目 9

設 $a \ge 0, b \ge 0$ 且 $a+b=1$，則 $2^a + 2^b$ 之最大值為 $x$，最小值為 $y$，求 $x+y$ 為？

答：

$3 + 2\sqrt{2}$

詳解

1. 求最小值 $y$：
由算幾不等式：$\displaystyle \frac{2^a + 2^b}{2} \ge \sqrt{2^a \cdot 2^b} = \sqrt{2^{a+b}}$
已知 $a+b=1$，故 $\displaystyle \frac{2^a + 2^b}{2} \ge \sqrt{2^1} = \sqrt{2}$
得 $2^a + 2^b \ge 2\sqrt{2}$，故最小值 $y = 2\sqrt{2}$。

2. 求最大值 $x$：
設 $2^a + 2^b = k$，已知 $b = 1-a$，則 $2^a + 2^{1-a} = k$。
令 $X = 2^a$，因 $a \ge 0$ 且 $a \le 1$（由 $a+b=1, b \ge 0$ 知），故 $1 \le X \le 2$。
原式變為 $\displaystyle X + \frac{2}{X} = k \implies X^2 - kX + 2 = 0$
考慮函數 $f(X) = X^2 - kX + 2$，其方程式兩根需在 $1 \le X \le 2$ 之間。
由圖形觀點，開口向上且通過 $(1, f(1))$，必要條件為 $f(1) \ge 0$：
$f(1) = 1 - k + 2 \ge 0 \implies k \le 3$。
當 $(a, b) = (1, 0)$ 或 $(0, 1)$ 時，$2^1 + 2^0 = 3$，故最大值 $x = 3$。

3. 結論：$x+y = 3 + 2\sqrt{2}$。

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題目 10

指數方程式 $4^x + (m-5) \times 2^{x+1} + (3m-5) = 0$ 有兩相異實根，求 $m$ 的範圍為？

答：

$\displaystyle \frac{5}{3} < m < 3$

詳解

令 $a = 2^x > 0$，則原式變為：
$a^2 + 2(m-5)a + (3m-5) = 0$
若原方程式有兩相異實根 $x_1, x_2$，則二次方程式需有 **兩個相異正根**。

條件如下：
(1) 判別式 $D > 0$：
$[2(m-5)]^2 - 4(3m-5) > 0 \implies 4(m^2 - 10m + 25) - 12m + 20 > 0$
$m^2 - 10m + 25 - 3m + 5 > 0 \implies m^2 - 13m + 30 > 0$
$(m-10)(m-3) > 0 \implies m > 10$ 或 $m < 3$。

(2) 兩正根之和與積（根與係數）：
兩根之和 $\alpha + \beta = -2(m-5) > 0 \implies m-5 < 0 \implies m < 5$。
兩根之積 $\alpha\beta = 3m-5 > 0 \implies \displaystyle m > \frac{5}{3}$。

綜合以上條件：
$\displaystyle \left( m > 10 \text{ 或 } m < 3 \right) \text{ 且 } m < 5 \text{ 且 } m > \frac{5}{3}$。
取交集得：$\displaystyle \frac{5}{3} < m < 3$。

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題目 11

設 $\log x + \log y = 1$，求 $x^2 + y^2 - 4(x+y) + 7$ 之最小值？

答：

$27 - 8\sqrt{10}$

詳解

由 $\log x + \log y = 1$ 可知 $xy = 10$，且根據對數定義 $x, y > 0$。
利用算幾不等式：$\displaystyle \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \implies x+y \ge 2\sqrt{10}$。
原式改寫：
$x^2 + y^2 - 4(x+y) + 7 = (x+y)^2 - 2xy - 4(x+y) + 7$
$= (x+y)^2 - 4(x+y) - 20 + 7$
$= (x+y)^2 - 4(x+y) - 13$
配方法：$= (x+y-2)^2 - 4 - 13 = (x+y-2)^2 - 17$
由於 $x+y \ge 2\sqrt{10} \approx 6.32$，故當 $x+y$ 越接近 2 時值越小，但在範圍內須取最小值 $x+y = 2\sqrt{10}$ 代入：
最小值 $= (2\sqrt{10}-2)^2 - 17$
$= (40 + 4 - 8\sqrt{10}) - 17$
$= 44 - 8\sqrt{10} - 17 = 27 - 8\sqrt{10}$。

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題目 12

設 $\Delta ABC$ 三邊的高分別為 $3, 4, 6$，試求 $\Delta ABC$ 面積？

答：

$\displaystyle \frac{16\sqrt{15}}{5}$

詳解

設 $\Delta ABC$ 面積為 $\Delta$，三邊長分別為 $a, b, c$。
根據三角形面積公式 $\displaystyle \Delta = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$，可得：
$\displaystyle a = \frac{2\Delta}{3}, \quad b = \frac{2\Delta}{4} = \frac{\Delta}{2}, \quad c = \frac{2\Delta}{6} = \frac{\Delta}{3}$
由此可知三邊長比例為 $\displaystyle a : b : c = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = 4 : 3 : 2$。
令 $a = 4t, b = 3t, c = 2t$，並利用海龍公式計算面積：
半周長 $\displaystyle s = \frac{4t+3t+2t}{2} = \frac{9}{2}t$
$\displaystyle \Delta = \sqrt{\frac{9}{2}t \left( \frac{9}{2}t - 4t \right) \left( \frac{9}{2}t - 3t \right) \left( \frac{9}{2}t - 2t \right)}$
$\displaystyle \Delta = \sqrt{\frac{9}{2}t \cdot \frac{1}{2}t \cdot \frac{3}{2}t \cdot \frac{5}{2}t} = \sqrt{\frac{135}{16}t^4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}t^2$
又已知 $\displaystyle \Delta = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 4t \cdot 3 = 6t$
建立等式：$\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}t^2 = 6t$
消去 $t$（因 $t > 0$）得 $\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}t = 6 \implies t = \frac{24}{3\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}}$
最後求面積：$\displaystyle \Delta = 6t = 6 \cdot \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{48}{\sqrt{15}} = \frac{48\sqrt{15}}{15} = \frac{16\sqrt{15}}{5}$。

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題目 13

有一曲線 $y^2 = 2x$，求點 $A(1, 4)$ 至此曲線之最短距離？

答：

$\sqrt{5}$

詳解

設曲線上任一點 $P$ 為 $\displaystyle \left( \frac{a^2}{2}, a \right)$。
點 $P$ 到 $A(1, 4)$ 的距離平方為：
$\displaystyle \overline{PA}^2 = \left( \frac{a^2}{2} - 1 \right)^2 + (a - 4)^2$
$\displaystyle = \frac{a^4}{4} - a^2 + 1 + a^2 - 8a + 16 = \frac{1}{4}a^4 - 8a + 17$
令 $f(a) = \frac{1}{4}a^4 - 8a + 17$，求導函數以找極值：
$f'(a) = a^3 - 8$
令 $f'(a) = 0 \implies a^3 = 8 \implies a = 2$。
當 $a = 2$ 時，距離平方有最小值：
$\overline{PA}^2 = \frac{1}{4}(2)^4 - 8(2) + 17 = 4 - 16 + 17 = 5$
故最短距離 $\overline{PA} = \sqrt{5}$。

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題目 14

一長為 10 呎的梯子傾斜靠在一垂直的牆上。已知梯腳以每秒 1 呎的速度向外滑動，則在梯腳離牆 6 呎時，梯頂沿牆下滑的速度為何？

答：

$\displaystyle \frac{3}{4}$ 呎/秒

詳解

設梯腳離牆距離為 $x$，梯頂離地高度為 $y$，梯長 $L = 10$。
由畢氏定理知 $x^2 + y^2 = 100$。
對時間 $t$ 微分得：$\displaystyle 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$
已知 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1$，且當 $x = 6$ 時，$\displaystyle y = \sqrt{100 - 6^2} = 8$。
代入等式：$2(6)(1) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0$
$12 + 16\frac{dy}{dt} = 0 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$。
負號表示高度減少，故下滑速度為 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 呎/秒。

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題目 15

設 $x > 0$，試求 $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 3x + 11}{x + 2}$ 的最小值？

答：

$5$

詳解

利用長除法將分式化簡：
$\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 3x + 11}{x + 2} = x + 1 + \frac{9}{x + 2}$
為了構造算幾不等式，改寫為：
$\displaystyle f(x) = (x + 2) + \frac{9}{x + 2} - 1$
因為 $x > 0 \implies x + 2 > 2$，由算幾不等式得：
$\displaystyle (x + 2) + \frac{9}{x + 2} \ge 2\sqrt{(x + 2) \cdot \frac{9}{x + 2}} = 2\sqrt{9} = 6$
故 $f(x) \ge 6 - 1 = 5$。
等號成立時，$(x+2)^2 = 9 \implies x+2 = 3$（$-3$ 不合）$\implies x = 1$。
故最小值為 $5$。

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出處：臺北市立松山高級商業家事職業學校 114 學年度教師甄選試題卷