115學年度 排列組合試題整理與詳解
一、 試題與簡答
1.
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。
【答：1392】
2.
已知甲、乙、丙、丁、...共 16 人任意平分成 4 組，每組 4 人 ，則甲、乙同組且丙、丁不同組的機率為 ________。
【答：$\frac{72}{455}$ 】
3.
將 5 枚棋子放在 $5 \times 5$ 的方格中，規定每一行與每一列最多只能擺放一枚棋子，且不能放在黑色小方格內（如圖所示），則共有幾種放法？ 【答：44】
4.
設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊息的機率。
【答：$\frac{19}{32}$】
二、 詳細解析區
收錄完整過程與影音
題目 1：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。
【詳細過程】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。
利用排容原理：**任意 - (甲乙不相鄰) - (丙丁相鄰) + (甲乙不相鄰 $\cap$ 丙丁相鄰)**
1. **任意排列**：$P^7_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$
2. **選出甲乙但甲乙不相鄰**：
先選出甲、乙以外的 3 人（$C^5_3$），將這 3 人排列（$3!$），再將甲乙插入空格（$P^4_2$）：
$C^5_3 \times 3! \times 4 \times 3 = 10 \times 6 \times 12 = 720$
3. **選出丙丁且丙丁相鄰**：
先選出丙、丁以外的 3 人（$C^5_3$），將丙丁看作一體，與其他 3 人共 4 物排列（$4!$），丙丁可互換（$2!$）：
$C^5_3 \times 4! \times 2! = 10 \times 24 \times 2 = 480$
4. **選出甲乙丙丁，且甲乙不相鄰、丙丁相鄰**：
選出剩下 1 人（$C^3_1$），將丙丁一體與該人排列（$2!$），丙丁互換（$2!$），再將甲乙插入空格（$P^3_2$）：
$C^3_1 \times 2! \times 2! \times 3 \times 2 = 3 \times 4 \times 6 = 72$
**總結**：$2520 - 720 - 480 + 72 = 1392$
1. **任意排列**：$P^7_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$
2. **選出甲乙但甲乙不相鄰**：
先選出甲、乙以外的 3 人（$C^5_3$），將這 3 人排列（$3!$），再將甲乙插入空格（$P^4_2$）：
$C^5_3 \times 3! \times 4 \times 3 = 10 \times 6 \times 12 = 720$
3. **選出丙丁且丙丁相鄰**：
先選出丙、丁以外的 3 人（$C^5_3$），將丙丁看作一體，與其他 3 人共 4 物排列（$4!$），丙丁可互換（$2!$）：
$C^5_3 \times 4! \times 2! = 10 \times 24 \times 2 = 480$
4. **選出甲乙丙丁，且甲乙不相鄰、丙丁相鄰**：
選出剩下 1 人（$C^3_1$），將丙丁一體與該人排列（$2!$），丙丁互換（$2!$），再將甲乙插入空格（$P^3_2$）：
$C^3_1 \times 2! \times 2! \times 3 \times 2 = 3 \times 4 \times 6 = 72$
**總結**：$2520 - 720 - 480 + 72 = 1392$
題目 2：
已知甲、乙、丙、丁、...共 16 人任意平分成 4 組，每組 4 人 ，則甲、乙同組且丙、丁不同組的機率為 ________。
【詳細過程】
已知甲、乙、丙、丁、...共 16 人任意平分成 4 組，每組 4 人 ，則甲、乙同組且丙、丁不同組的機率為 ________。
1. 樣本空間：
將 16 人平分成 4 組，每組 4 人。考慮平分性質，分母需除以 $4!$：
$n(S) = \frac{C^{16}_4 C^{12}_4 C^8_4 C^4_4}{4!}$。
2. 滿足條件的情況 (甲、乙同組且丙、丁不同組)：
我們固定甲、乙在同一組，並依丙、丁的分佈位置進行分類討論：
- (甲乙)-組，丙-組，丁-組： (即丙、丁分別在剩下的三組中之不同組)
由剩餘 14 人選 2 人補滿甲乙組，再選 3 人補滿丙組，再選 3 人補滿丁組：
$n(A_1) = C^{12}_2 \cdot C^{10}_3 \cdot C^7_3 \cdot C^4_4$。 - (甲乙丙)-組，丁-組： (含甲乙丁同組、丙在它組之對稱情況，故 $\times 2$)
由剩餘 12 人選 1 人補滿甲乙丙組，再選 3 人補滿丁組，剩下 8 人平分 2 組：
$n(A_2) = C^{12}_1 \cdot C^{11}_3 \cdot \frac{C^8_4 C^4_4}{2!} \times 2$。
3. 綜合計算機率：
$P = \frac{n(A_1) + n(A_2)}{n(S)} = \frac{12! \left( \frac{1}{2!3!3!4!} + \frac{14}{1!3!4!4!} \right)}{\frac{16!}{4!4!4!4! \cdot 4!}}$。
利用階乘與組合數性質進行約分簡化，最終得機率為：
$P = \frac{72}{455}$。
題目 4：
設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊息的機率。
【詳細過程】設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊息的機率。
(1) 樣本空間計算：
四台電腦兩兩連線的可能性共有 $C^4_2 = 6$ 條線段。 每一條線段連線（奇數）或不連線（偶數）的機率皆為 $\frac{1}{2}$。
總可能的連線狀態共有 $2^6 = 64$ 種。
(2) 分類討論「不連通」的情況（反面做法）：
我們要從總數扣除無法讓四台電腦全部連通的狀況：
- 分成 4 堆（均不連線）： 狀態數為 $1$。
- 分成 3 堆（2+1+1 模式）： 選出兩台連線，其餘兩台獨立。狀態數為 $C^4_2 = 6$。
- 分成 2 堆：
- (2+2 模式)： 兩兩成對連線，例如 (甲乙)(丙丁)。狀態數為 $\frac{C^4_2 \times C^2_2}{2!} = 3$。
- (3+1 模式)： 其中三台連通，另一台孤立。選出三台的方式有 $C^4_3 = 4$ 種；而這三台內部的連通方式有 4 種（1 種三角形 + 3 種路徑形）。故狀態數為 $4 \times 4 = 16$。
(3) 計算全連通機率：
不連通狀態總數 $= 1 + 6 + 3 + 16 = 26$ 種。
全連通狀態數 $= 64 - 26 = 38$ 種。
機率 $P = \frac{38}{64} = \frac{19}{32}$。 $\square$
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