115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解
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一、 填充題（每題 7 分，共 70 分）
題目 1
與 $115$ 互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：$1, 2, 3, 4, 6, 7, \dots$，試問此數列第 $2026$ 項為何？
答：
2647
詳解
1. 首先將 $115$ 質因數分解：$115 = 5 \times 23$。
2. 利用排容原理計算 $1$ 到 $115$ 中與 $115$ 互質的個數：
$\phi(115) = 115(1 - \frac{1}{5})(1 - \frac{1}{23}) = 115 \times \frac{4}{5} \times \frac{22}{23} = 88$。
3. 我們找第 $2026$ 項：$2026 = 88 \times 23 + 2$。
4. 這代表經過了 $23$ 個週期（每個週期 $115$），剩下的第 $2$ 個數是 $2$。
所求 $= 115 \times 23 + 2 = 2645 + 2 = 2647$。