北一女中 108學年度第二學期期末考 高一數學科試題與詳解
一、 是非題（每題 2 分，共 10 分）
題目 1
正九邊形的對角線共有 36 條。
答：
❌
詳解
題目
擲一顆均勻硬幣出現正面的機率為 $\frac{1}{2}$，這表示投擲一萬次，「必」有五千次出現正面。
答：
❌
詳解
機率 $\frac{1}{2}$ 是指長期實驗下出現正面的頻率會趨近於 $\frac{1}{2}$，但在隨機實驗中，並不保證特定次數內「必」會出現固定次數。
題目 3
投擲兩顆公正骰子點數和為偶數的機率為 $\frac{1}{2}$。
答：
⭕
詳解
點數和為偶數的情形有兩種：(奇, 奇) 或 (偶, 偶)。
機率 $P = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。敘述正確。
機率 $P = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。敘述正確。
題目 4
投擲六顆公正的骰子，$1、2、3、4、5、6$ 點都出現的機率大於 $\frac{1}{10}$。
答：
❌
詳解
總情形數為 $6^6$。1~6 點各出現一次的情形數為 $6!$。
機率 $P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0.0154$。此值小於 $0.1$ ($\frac{1}{10}$)，故敘述錯誤。
機率 $P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0.0154$。此值小於 $0.1$ ($\frac{1}{10}$)，故敘述錯誤。
題目 5
設 $A, B$ 為兩事件，若事件 $A$ 發生的機率為 $0.3$，事件 $B$ 發生的機率為 $0.4$，事件 $A, B$ 的和事件發生的機率為 $0.5$，則不發生 $A$ 事件且不發生 $B$ 事件的積事件發生機率為 $0.5$。
答：
⭕
詳解
由狄摩根定律，$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$。
已知和事件 $P(A \cup B) = 0.5$，故 $P(A' \cap B') = 1 - 0.5 = 0.5$。敘述正確。
已知和事件 $P(A \cup B) = 0.5$，故 $P(A' \cap B') = 1 - 0.5 = 0.5$。敘述正確。
二、 多重選擇題（20 分，每題 10 分）
題目 1
如右圖，小智欲從棋盤街道左下角 $A$ 走最短路徑到右上角 $B$，求其方法數。
試問下列哪些選項是正確的方法數？
(A) $252$
(B) $C^{10}_5$
(C) $\frac{10!}{5!5!} - 1$
(D) $C^9_4 + C^9_5 - 1$
(E) $(C^5_1)^2 + (C^5_2)^2 + (C^5_3)^2 + (C^5_4)^2 + (C^5_5)^2$
答：
(C)(D)(E)
詳解
1. **分析圖形**：若棋盤為完整的 $5 \times 5$（橫 5 縱 5），最短路徑總數為 $C^{10}_5 = 252$。但觀察圖形，右上角 $B$ 點左側缺了一個橫向邊。這表示原本「先向右走 5 步、再向上走 5 步」的那條唯一路徑無法通行，故總路徑數應為 $252 - 1 = 251$。
2. **選項分析**：
(A) **252**：未扣除缺角路徑，錯誤。
(B) **$C^{10}_5$**：等於 252，未扣除缺角，錯誤。
(C) **$\frac{10!}{5!5!} - 1$**：即 $252 - 1 = 251$，正確。
(D) **$C^9_4 + C^9_5 - 1$**：由帕斯卡公式 $C^9_4 + C^9_5 = C^{10}_5 = 252$，減 1 後等於 251，正確。
(E) **走到對角線點**：考慮從 $A$ 走到對角線 $x+y=5$ 上的各個點，再由該點走到 $B$。路徑總數可分階段加總：
• 經過 $(5,0)$：$C^5_0 \times C^5_5 = (C^5_0)^2 = 1$（此即為被扣除的那條缺角路徑）
• 經過 $(4,1)$：$C^5_1 \times C^5_4 = (C^5_1)^2 = 25$
• 經過 $(3,2)$：$C^5_2 \times C^5_3 = (C^5_2)^2 = 100$
• 經過 $(2,3)$：$C^5_3 \times C^5_2 = (C^5_3)^2 = 100$
• 經過 $(1,4)$：$C^5_4 \times C^5_1 = (C^5_4)^2 = 25$
• 經過 $(0,5)$：$C^5_5 \times C^5_0 = (C^5_5)^2 = 1$
選項 (E) 的算式恰好是將上述所有經過對角線點的路徑加總，但**漏掉了 $(C^5_0)^2 = 1$**，因此結果剛好是 $252 - 1 = 251$，正確。
2. **選項分析**：
(A) **252**：未扣除缺角路徑，錯誤。
(B) **$C^{10}_5$**：等於 252，未扣除缺角，錯誤。
(C) **$\frac{10!}{5!5!} - 1$**：即 $252 - 1 = 251$，正確。
(D) **$C^9_4 + C^9_5 - 1$**：由帕斯卡公式 $C^9_4 + C^9_5 = C^{10}_5 = 252$，減 1 後等於 251，正確。
(E) **走到對角線點**：考慮從 $A$ 走到對角線 $x+y=5$ 上的各個點，再由該點走到 $B$。路徑總數可分階段加總：
• 經過 $(5,0)$：$C^5_0 \times C^5_5 = (C^5_0)^2 = 1$（此即為被扣除的那條缺角路徑）
• 經過 $(4,1)$：$C^5_1 \times C^5_4 = (C^5_1)^2 = 25$
• 經過 $(3,2)$：$C^5_2 \times C^5_3 = (C^5_2)^2 = 100$
• 經過 $(2,3)$：$C^5_3 \times C^5_2 = (C^5_3)^2 = 100$
• 經過 $(1,4)$：$C^5_4 \times C^5_1 = (C^5_4)^2 = 25$
• 經過 $(0,5)$：$C^5_5 \times C^5_0 = (C^5_5)^2 = 1$
選項 (E) 的算式恰好是將上述所有經過對角線點的路徑加總，但**漏掉了 $(C^5_0)^2 = 1$**，因此結果剛好是 $252 - 1 = 251$，正確。
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題目 2
高一真班有 40 人，開學初醫生做完健康檢查後統計發現全班有 34 人近視，而有 21 人蛀牙。設班上同時有近視與蛀牙的同學比例為 $a$，有近視但沒有蛀牙的同學比例為 $b$，沒有近視但有蛀牙的同學比例為 $c$，沒有近視也沒有蛀牙的同學比例為 $d$，試問下列哪些選項是正確的？
(A) $a$ 可能等於 $b$
(B) $b$ 恆大於 $c$
(C) $c$ 恆大於 $d$
(D) $b+c$ 可能等於 $\frac{1}{2}$
(E) $a+d$ 可能等於 $\frac{5}{8}$
答：
(A)(B)(E)
詳解
1. **建立列聯表人數分析**：
設同時近視且蛀牙的人數為 $A$，則其餘類別人數如下：
其中比例分別為 $a = \frac{A}{40}, b = \frac{B}{40}, c = \frac{C}{40}, d = \frac{D}{40}$。
根據各項人數皆 $\ge 0$ 可得：$15 \le A \le 21$。
2. **選項分析**：
(A) **$a=b$**：即 $A = 34-A \Rightarrow A=17$，在此範圍內，正確。
(B) **$b > c$**：$(34-A) - (21-A) = 13 > 0$，故 $b$ 恆大於 $c$，正確。
(C) **$c > d$**：$(21-A) - (A-15) = 36-2A$，當 $A=20$ 時 $c < d$，錯誤。
(D) **$b+c = \frac{1}{2}$**：即 $B+C = 20$。由表知 $B+C = (34-A)+(21-A) = 55-2A$，若要等於 20 則 $2A=35 \Rightarrow A=17.5$（人數非整數），錯誤。
(E) **$a+d = \frac{5}{8}$**：即 $A+D = 40 \times \frac{5}{8} = 25$。由表知 $A+D = A+(A-15) = 2A-15$，若 $2A-15=25 \Rightarrow A=20$，在此範圍內，正確。
設同時近視且蛀牙的人數為 $A$，則其餘類別人數如下：
| 人數 | 蛀牙 | 沒蛀牙 | 合計 |
| 近視 | $A$ | $B = 34 - A$ | 34 |
| 沒近視 | $C = 21 - A$ | $D = A - 15$ | 6 |
| 合計 | 21 | 19 | 40 |
根據各項人數皆 $\ge 0$ 可得：$15 \le A \le 21$。
2. **選項分析**：
(A) **$a=b$**：即 $A = 34-A \Rightarrow A=17$，在此範圍內，正確。
(B) **$b > c$**：$(34-A) - (21-A) = 13 > 0$，故 $b$ 恆大於 $c$，正確。
(C) **$c > d$**：$(21-A) - (A-15) = 36-2A$，當 $A=20$ 時 $c < d$，錯誤。
(D) **$b+c = \frac{1}{2}$**：即 $B+C = 20$。由表知 $B+C = (34-A)+(21-A) = 55-2A$，若要等於 20 則 $2A=35 \Rightarrow A=17.5$（人數非整數），錯誤。
(E) **$a+d = \frac{5}{8}$**：即 $A+D = 40 \times \frac{5}{8} = 25$。由表知 $A+D = A+(A-15) = 2A-15$，若 $2A-15=25 \Rightarrow A=20$，在此範圍內，正確。
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三、 填充題（共 14 格，每格 5 分，共 70 分）
題目 1
張爺爺申請銀行提款卡，其密碼格式為四個阿拉伯數字，且預設密碼為 0000。張爺爺為了好記憶，他將預設密碼更改後（不再用 0000），設定新密碼的四個數字皆為偶數，但是他最不喜歡出現連續四個 4。試問他更改後的密碼共有 ________ 種可能性。
答：
623
詳解
1. **分析數字選擇**：題目要求密碼皆為偶數，可選擇的數字為 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 共 5 種。
2. **總排法**：四個位置各有 5 種選擇，共有 $5^4 = 625$ 種。
3. **扣除不符條件者**：
• 題目規定「不再用 0000」，需扣除 1 種。
• 題目規定「不喜歡出現連續四個 4」（即 4444），需扣除 1 種。
4. **計算結果**：$625 - 2 = 623$。
2. **總排法**：四個位置各有 5 種選擇，共有 $5^4 = 625$ 種。
3. **扣除不符條件者**：
• 題目規定「不再用 0000」，需扣除 1 種。
• 題目規定「不喜歡出現連續四個 4」（即 4444），需扣除 1 種。
4. **計算結果**：$625 - 2 = 623$。
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題目 2
將「天知地知你知我知」八字全取作排列，若「天」要排在「地」的左方有 ________ 種方法。
答：
840
詳解
1. **分析字頻**：
• 「知」：4 次。
• 「天、地、你、我」：各 1 次。
2. **處理相對位置**：
題目要求「天」在「地」的左方，依照不盡相異物排列邏輯，將「天」與「地」視為兩個相同符號 $\square$，排完後再按順序填入天、地（僅 1 種填法）。
3. **計算過程**：
總方法數 $= \frac{8!}{\text{(知)}! \times \text{(天地視為相同)}!} \times 1$
$= \frac{8!}{4! \times 2!} \times 1$
$= \frac{40320}{24 \times 2} = \frac{40320}{48} = 840$。
• 「知」：4 次。
• 「天、地、你、我」：各 1 次。
2. **處理相對位置**：
題目要求「天」在「地」的左方，依照不盡相異物排列邏輯，將「天」與「地」視為兩個相同符號 $\square$，排完後再按順序填入天、地（僅 1 種填法）。
3. **計算過程**：
總方法數 $= \frac{8!}{\text{(知)}! \times \text{(天地視為相同)}!} \times 1$
$= \frac{8!}{4! \times 2!} \times 1$
$= \frac{40320}{24 \times 2} = \frac{40320}{48} = 840$。
題目 3
已知 $(1-ax)(2+x)^5$ 的展開式中 $x^3$ 項的係數為 $20$，求實數 $a$ 的值為 ________。
答：
$\frac{1}{4}$
詳解
1. **展開二項式**：
$(2+x)^5 = \dots + C^5_2 \cdot 2^3 \cdot x^2 + C^5_3 \cdot 2^2 \cdot x^3 + \dots$
其中 $x^2$ 項為 $10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$；$x^3$ 項為 $10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$。
2. **組合出 $x^3$ 項**：
$(1-ax)(\dots + 80x^2 + 40x^3 + \dots)$
係數來源為：$1 \cdot (40) + (-a) \cdot (80) = 40 - 80a$。
3. **求解 $a$**：
$40 - 80a = 20 \Rightarrow 80a = 20 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$。
$(2+x)^5 = \dots + C^5_2 \cdot 2^3 \cdot x^2 + C^5_3 \cdot 2^2 \cdot x^3 + \dots$
其中 $x^2$ 項為 $10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$；$x^3$ 項為 $10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$。
2. **組合出 $x^3$ 項**：
$(1-ax)(\dots + 80x^2 + 40x^3 + \dots)$
係數來源為：$1 \cdot (40) + (-a) \cdot (80) = 40 - 80a$。
3. **求解 $a$**：
$40 - 80a = 20 \Rightarrow 80a = 20 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$。
題目 4
一袋中有 5 個白球、4 個紅球、3 個黑球，自袋中任取 4 球，每球被取出的機會均等，則每色球至少取 1 個的機率為 ________。
答：
$\frac{6}{11}$
詳解
1. **樣本空間**：
$n(S) = C^{12}_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$。
2. **符合條件的情況（每色至少一個，共取四球，必為 2,1,1 分配）**：
• (白2, 紅1, 黑1)：$C^5_2 \cdot C^4_1 \cdot C^3_1 = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120$
• (白1, 紅2, 黑1)：$C^5_1 \cdot C^4_2 \cdot C^3_1 = 5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$
• (白1, 紅1, 黑2)：$C^5_1 \cdot C^4_1 \cdot C^3_2 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
共有 $120 + 90 + 60 = 270$ 種。
3. **計算機率**：
$P = \frac{270}{495} = \frac{6}{11}$。
$n(S) = C^{12}_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$。
2. **符合條件的情況（每色至少一個，共取四球，必為 2,1,1 分配）**：
• (白2, 紅1, 黑1)：$C^5_2 \cdot C^4_1 \cdot C^3_1 = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120$
• (白1, 紅2, 黑1)：$C^5_1 \cdot C^4_2 \cdot C^3_1 = 5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$
• (白1, 紅1, 黑2)：$C^5_1 \cdot C^4_1 \cdot C^3_2 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
共有 $120 + 90 + 60 = 270$ 種。
3. **計算機率**：
$P = \frac{270}{495} = \frac{6}{11}$。
題目 5
服務股長將班上 6 名學生甲、乙、丙、丁、戊、己隨機分配到 3 個不同外掃區域作打掃工作，每個外掃區至少要派 1 名同學，但甲、乙希望分配在同一個外掃區，請問服務股長共有 ________ 種分配方法。
答：
150
詳解
Step 1. 核心邏輯設定
由於甲、乙必須在同一個掃區，將其**綁定為一個整體（記作「甲乙組」）**。現在問題變為將「甲乙組」與其餘 4 人分配到 3 個區域，且每區至少 1 人。
Step 2. 依「人數分配」進行分堆計算
依據 6 人分入 3 個區域且每區至少 1 人的規則，共有三種人數模型：
將所有分堆方式加總，並排列至 3 個**不同**的掃區：
$$(6 + 16 + 3) \times 3! = 25 \times 6 = 150$$
由於甲、乙必須在同一個掃區，將其**綁定為一個整體（記作「甲乙組」）**。現在問題變為將「甲乙組」與其餘 4 人分配到 3 個區域，且每區至少 1 人。
Step 2. 依「人數分配」進行分堆計算
依據 6 人分入 3 個區域且每區至少 1 人的規則，共有三種人數模型：
① 人數型 (4, 1, 1)：
• 必須將「甲乙組」放入 4 人那堆。
• 從剩餘 4 人中選 2 人加入：$C^4_2 = 6$ 種。
② 人數型 (3, 2, 1)：
• 情況 A：「甲乙組」在 3 人堆：從其餘 4 人選 1 人加入，剩 3 人選 2 人為一堆 $\rightarrow C^4_1 \times C^3_2 = 12$ 種。
• 情況 B：「甲乙組」在 2 人堆：其餘 4 人選 3 人為一堆 $\rightarrow C^4_3 = 4$ 種。
• 合計：$12 + 4 = 16$ 種。
③ 人數型 (2, 2, 2)：
• 「甲乙組」固定佔據其中一堆。
• 其餘 4 人平分兩堆（需除以階層）：$C^4_2 \times C^2_2 \times \frac{1}{2!} = 3$ 種。
Step 3. 總結方法數• 必須將「甲乙組」放入 4 人那堆。
• 從剩餘 4 人中選 2 人加入：$C^4_2 = 6$ 種。
② 人數型 (3, 2, 1)：
• 情況 A：「甲乙組」在 3 人堆：從其餘 4 人選 1 人加入，剩 3 人選 2 人為一堆 $\rightarrow C^4_1 \times C^3_2 = 12$ 種。
• 情況 B：「甲乙組」在 2 人堆：其餘 4 人選 3 人為一堆 $\rightarrow C^4_3 = 4$ 種。
• 合計：$12 + 4 = 16$ 種。
③ 人數型 (2, 2, 2)：
• 「甲乙組」固定佔據其中一堆。
• 其餘 4 人平分兩堆（需除以階層）：$C^4_2 \times C^2_2 \times \frac{1}{2!} = 3$ 種。
將所有分堆方式加總，並排列至 3 個**不同**的掃區：
$$(6 + 16 + 3) \times 3! = 25 \times 6 = 150$$
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題目 6
用 1、2、5、7、9、0 組成的三位數，數字可以重複，其個位數字、十位數字、百位數字的總和為偶數者共有 ________ 種。
答：
84
詳解
Step 1. 數字分類
• 奇數 ($O$)：$\{1, 5, 7, 9\}$，共 4 個。
• 偶數 ($E$)：$\{0, 2\}$，共 2 個。
Step 2. 條件分析：總和為偶數
若三數之和為偶數，則組成必須為「3 個偶數」或「1 偶數 + 2 奇數」。
需注意：百位數不能為 0。
將所有符合情況加總： $$4 + 16 + 32 + 32 = 84$$
• 奇數 ($O$)：$\{1, 5, 7, 9\}$，共 4 個。
• 偶數 ($E$)：$\{0, 2\}$，共 2 個。
Step 2. 條件分析：總和為偶數
若三數之和為偶數，則組成必須為「3 個偶數」或「1 偶數 + 2 奇數」。
需注意：百位數不能為 0。
① (偶, 偶, 偶) 型：
百位數僅能選 $\{2\}$，十位與個位選 $\{0, 2\}$。
$\rightarrow 1 \times 2 \times 2 = 4$ 種。
② (偶, 奇, 奇) 型：
• (偶, 奇, 奇)：百位選 $\{2\}$ $\rightarrow 1 \times 4 \times 4 = 16$ 種。
• (奇, 奇, 偶)：百位選奇數 $\rightarrow 4 \times 4 \times 2 = 32$ 種。
• (奇, 偶, 奇)：百位選奇數 $\rightarrow 4 \times 2 \times 4 = 32$ 種。
Step 3. 總結計算百位數僅能選 $\{2\}$，十位與個位選 $\{0, 2\}$。
$\rightarrow 1 \times 2 \times 2 = 4$ 種。
② (偶, 奇, 奇) 型：
• (偶, 奇, 奇)：百位選 $\{2\}$ $\rightarrow 1 \times 4 \times 4 = 16$ 種。
• (奇, 奇, 偶)：百位選奇數 $\rightarrow 4 \times 4 \times 2 = 32$ 種。
• (奇, 偶, 奇)：百位選奇數 $\rightarrow 4 \times 2 \times 4 = 32$ 種。
將所有符合情況加總： $$4 + 16 + 32 + 32 = 84$$
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題目 7
某電視台舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000、800、600、0 元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球（但取後不放回），主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽到 0 元的人可以再摸一次，不過所得獎金需折半；則一個參加者可得獎金的期望值是 ________ 元。
答：
700
詳解
方法一：利用定義 $E = \sum P_i m_i$
1. 直接抽中 1000, 800, 600 的機率各為 $\frac{1}{4}$。
2. 若抽中 0 元（機率 $\frac{1}{4}$），則從剩餘三球中再摸一球且獎金折半：
其第二次摸球的期望獎金為 $(\frac{1}{3} \cdot \frac{1000}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{800}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{600}{2})$。
列式計算：
$$E = 1000 \cdot \frac{1}{4} + 800 \cdot \frac{1}{4} + 600 \cdot \frac{1}{4} + \left( \frac{500+400+300}{3} \right) \cdot \frac{1}{4}$$ $$E = 250 + 200 + 150 + 400 \cdot \frac{1}{4}$$ $$E = 600 + 100 = 700$$
方法二：平均球價值觀念
將 0 元球的價值視為其後續「折半獎金」的平均值：
1. 0 元球後續價值 $= \frac{500 + 400 + 300}{3} = 400$ 元。
2. 總期望值為箱中四球（修正後）的平均：
$$E = \frac{1000 + 800 + 600 + 400}{4} = \frac{2800}{4} = 700$$
1. 直接抽中 1000, 800, 600 的機率各為 $\frac{1}{4}$。
2. 若抽中 0 元（機率 $\frac{1}{4}$），則從剩餘三球中再摸一球且獎金折半：
其第二次摸球的期望獎金為 $(\frac{1}{3} \cdot \frac{1000}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{800}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{600}{2})$。
列式計算：
$$E = 1000 \cdot \frac{1}{4} + 800 \cdot \frac{1}{4} + 600 \cdot \frac{1}{4} + \left( \frac{500+400+300}{3} \right) \cdot \frac{1}{4}$$ $$E = 250 + 200 + 150 + 400 \cdot \frac{1}{4}$$ $$E = 600 + 100 = 700$$
方法二：平均球價值觀念
將 0 元球的價值視為其後續「折半獎金」的平均值：
1. 0 元球後續價值 $= \frac{500 + 400 + 300}{3} = 400$ 元。
2. 總期望值為箱中四球（修正後）的平均：
$$E = \frac{1000 + 800 + 600 + 400}{4} = \frac{2800}{4} = 700$$
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題目 8
若小綠任意寫出一個三位正整數 $n$，則 $n$ 的百位數字、十位數字與個位數字依序形成一個等差數列的機率為 ________。
答：
$\frac{1}{20}$
詳解
Step 1. 樣本空間
三位正整數（$100 \sim 999$）共有 $9 \times 10 \times 10 = 900$ 個。
Step 2. 分類討論（依公差 $d$ 絕對值與是否含 0）
設三位數為 $abc$，需滿足 $a \neq 0$ 且 $2b = a+c$。
符合條件的總數為 $9 (\text{公差}0) + 32 (\text{無}0) + 4 (\text{含}0) = 45$ 個。
$$P = \frac{45}{900} = \frac{1}{20}$$
三位正整數（$100 \sim 999$）共有 $9 \times 10 \times 10 = 900$ 個。
Step 2. 分類討論（依公差 $d$ 絕對值與是否含 0）
設三位數為 $abc$，需滿足 $a \neq 0$ 且 $2b = a+c$。
① 公差 $d=0$：
$(111, 222, \dots, 999)$，共 9 種。
② 無 0 的情況（正負公差對稱，計算一邊再 $\times 2$）：
使用數字 $\{1, 2, \dots, 9\}$ 進行排列：
• $|d|=1$：$(1,2,3)$ 到 $(7,8,9)$ 有 7 組 $\rightarrow 7 \times 2 = 14$ 種。
• $|d|=2$：$(1,3,5)$ 到 $(5,7,9)$ 有 5 組 $\rightarrow 5 \times 2 = 10$ 種。
• $|d|=3$：$(1,4,7)$ 到 $(3,6,9)$ 有 3 組 $\rightarrow 3 \times 2 = 6$ 種。
• $|d|=4$：只有 $(1,5,9)$ 有 1 組 $\rightarrow 1 \times 2 = 2$ 種。
（此部分小計：$14 + 10 + 6 + 2 = 32$ 種）
③ 含有 0 的情況（注意百位數限制）：
0 只能出現在個位或十位：
• $d$ 為負：$(210, 420, 630, 840)$ $\rightarrow$ 共 4 種。
• $d$ 為正：個位為 0 則百位必為 0（不合），故無此情況。
（此部分小計：4 種）
Step 3. 總結計算$(111, 222, \dots, 999)$，共 9 種。
② 無 0 的情況（正負公差對稱，計算一邊再 $\times 2$）：
使用數字 $\{1, 2, \dots, 9\}$ 進行排列：
• $|d|=1$：$(1,2,3)$ 到 $(7,8,9)$ 有 7 組 $\rightarrow 7 \times 2 = 14$ 種。
• $|d|=2$：$(1,3,5)$ 到 $(5,7,9)$ 有 5 組 $\rightarrow 5 \times 2 = 10$ 種。
• $|d|=3$：$(1,4,7)$ 到 $(3,6,9)$ 有 3 組 $\rightarrow 3 \times 2 = 6$ 種。
• $|d|=4$：只有 $(1,5,9)$ 有 1 組 $\rightarrow 1 \times 2 = 2$ 種。
（此部分小計：$14 + 10 + 6 + 2 = 32$ 種）
③ 含有 0 的情況（注意百位數限制）：
0 只能出現在個位或十位：
• $d$ 為負：$(210, 420, 630, 840)$ $\rightarrow$ 共 4 種。
• $d$ 為正：個位為 0 則百位必為 0（不合），故無此情況。
（此部分小計：4 種）
符合條件的總數為 $9 (\text{公差}0) + 32 (\text{無}0) + 4 (\text{含}0) = 45$ 個。
$$P = \frac{45}{900} = \frac{1}{20}$$
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題目 9
在右圖 $4 \times 5$ 黑白相間的固定棋盤中，選取 1 個黑方格與 1 個白方格，試問選出的黑方格和白方格不在同一行也不在同一列的機率為 ________。
答：
$\frac{14}{25}$
詳解
Step 1. 棋盤分析
在 $4 \times 5 = 20$ 格的棋盤中，黑白方格各佔 10 個。
樣本空間 $n(S) = C^{10}_1 \times C^{10}_1 = 100$。
Step 2. 依黑方格所在位置分類
為了避開同行或同列，我們觀察每一格黑方格對應「可選白方格」的數量：
符合條件的組合數 $= 20 + 36 = 56$ 種。
$$P = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$$
在 $4 \times 5 = 20$ 格的棋盤中，黑白方格各佔 10 個。
樣本空間 $n(S) = C^{10}_1 \times C^{10}_1 = 100$。
Step 2. 依黑方格所在位置分類
為了避開同行或同列，我們觀察每一格黑方格對應「可選白方格」的數量：
• 類型 A（黑方格在角落或特定位置）：
觀察圖形，共有 4 個黑方格，其同行與同列共有 5 個白方格。
剩餘可用白方格數 $= 10 - 5 = 5$ 個。 $\rightarrow 4 \times 5 = 20$ 種。
• 類型 B（其餘位置）：
共有 6 個黑方格，其同行與同列共有 4 個白方格。
剩餘可用白方格數 $= 10 - 4 = 6$ 個。 $\rightarrow 6 \times 6 = 36$ 種。
Step 3. 計算機率觀察圖形，共有 4 個黑方格，其同行與同列共有 5 個白方格。
剩餘可用白方格數 $= 10 - 5 = 5$ 個。 $\rightarrow 4 \times 5 = 20$ 種。
• 類型 B（其餘位置）：
共有 6 個黑方格，其同行與同列共有 4 個白方格。
剩餘可用白方格數 $= 10 - 4 = 6$ 個。 $\rightarrow 6 \times 6 = 36$ 種。
符合條件的組合數 $= 20 + 36 = 56$ 種。
$$P = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$$
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題目 10
一盒子裡有 $n (n > 3)$ 顆大小相同的球，其中有 1 顆紅球、2 顆藍球以及 $n-3$ 顆白球。從盒子裡隨機同時抽取 2 球，所得球的計分方式為每顆紅球、藍球及白球分別為 $2n$ 分、$n$ 分及 1 分。若所得分數的期望值 $E_n$ 為整數，則數對 $(n, E_n) = $ ________。
答：
(6, 9)
詳解
Step 1. 單顆球期望值分析
先計算抽一顆球的期望值 $E_{single}$：
$$E_{single} = \frac{1 \cdot (2n) + 2 \cdot (n) + (n-3) \cdot 1}{n} = \frac{4n + n - 3}{n} = \frac{5n - 3}{n} = 5 - \frac{3}{n}$$
Step 2. 兩顆球期望值計算
根據期望值的線性性質，抽兩球的期望值 $E_n$ 即為單球期望值的兩倍：
$$E_n = 2 \cdot \left( 5 - \frac{3}{n} \right) = 10 - \frac{6}{n}$$
Step 3. 求解整數條件
若要使 $E_n$ 為整數，則 $n$ 必須是 6 的因數。題目給定 $n > 3$，故 $n$ 可能為 6。
當 $n=6$ 時：
$$E_6 = 10 - \frac{6}{6} = 9$$
故數對 $(n, E_n) = (6, 9)$。
先計算抽一顆球的期望值 $E_{single}$：
$$E_{single} = \frac{1 \cdot (2n) + 2 \cdot (n) + (n-3) \cdot 1}{n} = \frac{4n + n - 3}{n} = \frac{5n - 3}{n} = 5 - \frac{3}{n}$$
Step 2. 兩顆球期望值計算
根據期望值的線性性質，抽兩球的期望值 $E_n$ 即為單球期望值的兩倍：
$$E_n = 2 \cdot \left( 5 - \frac{3}{n} \right) = 10 - \frac{6}{n}$$
Step 3. 求解整數條件
若要使 $E_n$ 為整數，則 $n$ 必須是 6 的因數。題目給定 $n > 3$，故 $n$ 可能為 6。
當 $n=6$ 時：
$$E_6 = 10 - \frac{6}{6} = 9$$
故數對 $(n, E_n) = (6, 9)$。
題目 11
某公司規定甲、乙、丙三員在一星期中的周一至周六這六天中每人必須選擇其中兩天值夜班，但每天只有一人可值班，今三人隨機選擇值班且三人的選擇互不相關。試回答下列問題：
(1) 若六天當中甲不值周一晚上，乙不值周五晚上的情形有 ________ 種。
(2) 若六天當中三人皆未出現連續兩天值班的情形有 ________ 種。
答：
(1) 42 (2) 30
詳解
第 (1) 小題：排容原理應用
設所有選法為 $S$，甲值周一為事件 $A$，乙值周五為事件 $B$。所求為 $n(S) - n(A \cup B)$：
設 $A$ 為「甲連續」，$B$ 為「乙連續」，$C$ 為「丙連續」。所求為 $n(S) - n(A \cup B \cup C)$：
設所有選法為 $S$，甲值周一為事件 $A$，乙值周五為事件 $B$。所求為 $n(S) - n(A \cup B)$：
• $n(S) = C^6_2 C^4_2 C^2_2 = 90$ 種。
• $n(A) = C^5_1 C^4_2 C^2_2 = 30$ 種；$n(B) = 30$ 種。
• $n(A \cap B) = C^4_1 C^3_1 C^2_2 = 12$ 種。
👉 計算：$90 - (30 + 30) + 12 = 42$。
第 (2) 小題：排容原理（扣除連續值班）• $n(A) = C^5_1 C^4_2 C^2_2 = 30$ 種；$n(B) = 30$ 種。
• $n(A \cap B) = C^4_1 C^3_1 C^2_2 = 12$ 種。
👉 計算：$90 - (30 + 30) + 12 = 42$。
設 $A$ 為「甲連續」，$B$ 為「乙連續」，$C$ 為「丙連續」。所求為 $n(S) - n(A \cup B \cup C)$：
• 任選 $n(S)$：$C^6_2 C^4_2 = 90$ 種。
• 一人連續 $\sum n(A)$：
將連續兩天視為一體，剩 5 個空位選 1 位給甲，其餘 4 天選 2 天給乙：
$C^5_1 \times C^4_2 \times 3 (\text{甲乙丙輪流}) = 5 \times 6 \times 3 = 90$ 種。
• 兩人連續 $\sum n(A \cap B)$：
甲連續且乙連續，剩 4 個位置選 2 位給甲乙：
$C^4_1 \times C^3_1 \times 3 (\text{組合對數}) = 12 \times 3 = 36$ 種。
• 三人皆連續 $n(A \cap B \cap C)$：
甲乙丙皆各連續兩天，視為三體排列：$3! = 6$ 種。
👉 最終計算：
$$90 - 90 + 36 - 6 = 30$$
• 一人連續 $\sum n(A)$：
將連續兩天視為一體，剩 5 個空位選 1 位給甲，其餘 4 天選 2 天給乙：
$C^5_1 \times C^4_2 \times 3 (\text{甲乙丙輪流}) = 5 \times 6 \times 3 = 90$ 種。
• 兩人連續 $\sum n(A \cap B)$：
甲連續且乙連續，剩 4 個位置選 2 位給甲乙：
$C^4_1 \times C^3_1 \times 3 (\text{組合對數}) = 12 \times 3 = 36$ 種。
• 三人皆連續 $n(A \cap B \cap C)$：
甲乙丙皆各連續兩天，視為三體排列：$3! = 6$ 種。
👉 最終計算：
$$90 - 90 + 36 - 6 = 30$$
題目 12
如右圖，共有八個黑點，已知同行與同列的各點均等距，試回答下列問題：
(1) 這八個點可決定 ________ 個三角形。
(2) 將這些點兩兩用直線段相連，且每個點都恰好連接一次，若恰可連出 4 條線段，但任兩個線段不能相交，則有 ________ 種方法。
答：
(1) 51 (2) 13
詳解
第 (1) 小題：
從 8 個點中任選 3 點，扣除共線的情況：
根據圖形觀察與窮舉對稱性，在線段不相交且每個點恰連接一次的限制下：
從 8 個點中任選 3 點，扣除共線的情況：
• 任選三點：$C^8_3 = 56$。
• 扣除三點共線：
水平方向：第一列有 3 個點，第二列有 3 個點 $\rightarrow$ 2 種。
垂直方向：中間一排有 3 個點 $\rightarrow$ 1 種。
斜線方向：左下到右上、右下到左上 $\rightarrow$ 2 種。
👉 $56 - (2 + 1 + 2) = 56 - 5 = 51$。
第 (2) 小題：• 扣除三點共線：
水平方向：第一列有 3 個點，第二列有 3 個點 $\rightarrow$ 2 種。
垂直方向：中間一排有 3 個點 $\rightarrow$ 1 種。
斜線方向：左下到右上、右下到左上 $\rightarrow$ 2 種。
👉 $56 - (2 + 1 + 2) = 56 - 5 = 51$。
根據圖形觀察與窮舉對稱性，在線段不相交且每個點恰連接一次的限制下：
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