北一女中 108學年度第二學期期末考 高一數學科試題與詳解
一、 是非題（每題 2 分，共 10 分）
題目 1
正九邊形的對角線共有 36 條。
答：
❌
詳解
題目
擲一顆均勻硬幣出現正面的機率為 $\frac{1}{2}$，這表示投擲一萬次，「必」有五千次出現正面。
答：
❌
詳解
機率 $\frac{1}{2}$ 是指長期實驗下出現正面的頻率會趨近於 $\frac{1}{2}$，但在隨機實驗中，並不保證特定次數內「必」會出現固定次數。
題目 3
投擲兩顆公正骰子點數和為偶數的機率為 $\frac{1}{2}$。
答：
⭕
詳解
點數和為偶數的情形有兩種：(奇, 奇) 或 (偶, 偶)。
機率 $P = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。敘述正確。
機率 $P = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。敘述正確。
題目 4
投擲六顆公正的骰子，$1、2、3、4、5、6$ 點都出現的機率大於 $\frac{1}{10}$。
答：
❌
詳解
總情形數為 $6^6$。1~6 點各出現一次的情形數為 $6!$。
機率 $P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0.0154$。此值小於 $0.1$ ($\frac{1}{10}$)，故敘述錯誤。
機率 $P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0.0154$。此值小於 $0.1$ ($\frac{1}{10}$)，故敘述錯誤。
題目 5
設 $A, B$ 為兩事件，若事件 $A$ 發生的機率為 $0.3$，事件 $B$ 發生的機率為 $0.4$，事件 $A, B$ 的和事件發生的機率為 $0.5$，則不發生 $A$ 事件且不發生 $B$ 事件的積事件發生機率為 $0.5$。
答：
⭕
詳解
由狄摩根定律，$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$。
已知和事件 $P(A \cup B) = 0.5$，故 $P(A' \cap B') = 1 - 0.5 = 0.5$。敘述正確。
已知和事件 $P(A \cup B) = 0.5$，故 $P(A' \cap B') = 1 - 0.5 = 0.5$。敘述正確。
二、 多重選擇題（20 分，每題 10 分）
題目 1
如右圖，小智欲從棋盤街道左下角 $A$ 走最短路徑到右上角 $B$，求其方法數。
試問下列哪些選項是正確的方法數？
(A) $252$
(B) $C^{10}_5$
(C) $\frac{10!}{5!5!} - 1$
(D) $C^9_4 + C^9_5 - 1$
(E) $(C^5_1)^2 + (C^5_2)^2 + (C^5_3)^2 + (C^5_4)^2 + (C^5_5)^2$
答：
(C)(D)(E)
詳解
1. **分析圖形**：若棋盤為完整的 $5 \times 5$（橫 5 縱 5），最短路徑總數為 $C^{10}_5 = 252$。但觀察圖形，右上角 $B$ 點左側缺了一個橫向邊。這表示原本「先向右走 5 步、再向上走 5 步」的那條唯一路徑無法通行，故總路徑數應為 $252 - 1 = 251$。
2. **選項分析**：
(A) **252**：未扣除缺角路徑，錯誤。
(B) **$C^{10}_5$**：等於 252，未扣除缺角，錯誤。
(C) **$\frac{10!}{5!5!} - 1$**：即 $252 - 1 = 251$，正確。
(D) **$C^9_4 + C^9_5 - 1$**：由帕斯卡公式 $C^9_4 + C^9_5 = C^{10}_5 = 252$，減 1 後等於 251，正確。
(E) **走到對角線點**：考慮從 $A$ 走到對角線 $x+y=5$ 上的各個點，再由該點走到 $B$。路徑總數可分階段加總：
• 經過 $(5,0)$：$C^5_0 \times C^5_5 = (C^5_0)^2 = 1$（此即為被扣除的那條缺角路徑）
• 經過 $(4,1)$：$C^5_1 \times C^5_4 = (C^5_1)^2 = 25$
• 經過 $(3,2)$：$C^5_2 \times C^5_3 = (C^5_2)^2 = 100$
• 經過 $(2,3)$：$C^5_3 \times C^5_2 = (C^5_3)^2 = 100$
• 經過 $(1,4)$：$C^5_4 \times C^5_1 = (C^5_4)^2 = 25$
• 經過 $(0,5)$：$C^5_5 \times C^5_0 = (C^5_5)^2 = 1$
選項 (E) 的算式恰好是將上述所有經過對角線點的路徑加總，但**漏掉了 $(C^5_0)^2 = 1$**，因此結果剛好是 $252 - 1 = 251$，正確。
2. **選項分析**：
(A) **252**：未扣除缺角路徑，錯誤。
(B) **$C^{10}_5$**：等於 252，未扣除缺角，錯誤。
(C) **$\frac{10!}{5!5!} - 1$**：即 $252 - 1 = 251$，正確。
(D) **$C^9_4 + C^9_5 - 1$**：由帕斯卡公式 $C^9_4 + C^9_5 = C^{10}_5 = 252$，減 1 後等於 251，正確。
(E) **走到對角線點**：考慮從 $A$ 走到對角線 $x+y=5$ 上的各個點，再由該點走到 $B$。路徑總數可分階段加總：
• 經過 $(5,0)$：$C^5_0 \times C^5_5 = (C^5_0)^2 = 1$（此即為被扣除的那條缺角路徑）
• 經過 $(4,1)$：$C^5_1 \times C^5_4 = (C^5_1)^2 = 25$
• 經過 $(3,2)$：$C^5_2 \times C^5_3 = (C^5_2)^2 = 100$
• 經過 $(2,3)$：$C^5_3 \times C^5_2 = (C^5_3)^2 = 100$
• 經過 $(1,4)$：$C^5_4 \times C^5_1 = (C^5_4)^2 = 25$
• 經過 $(0,5)$：$C^5_5 \times C^5_0 = (C^5_5)^2 = 1$
選項 (E) 的算式恰好是將上述所有經過對角線點的路徑加總，但**漏掉了 $(C^5_0)^2 = 1$**，因此結果剛好是 $252 - 1 = 251$，正確。
題目 2
高一真班有 40 人，開學初醫生做完健康檢查後統計發現全班有 34 人近視，而有 21 人蛀牙。設班上同時有近視與蛀牙的同學比例為 $a$，有近視但沒有蛀牙的同學比例為 $b$，沒有近視但有蛀牙的同學比例為 $c$，沒有近視也沒有蛀牙的同學比例為 $d$，試問下列哪些選項是正確的？
(A) $a$ 可能等於 $b$
(B) $b$ 恆大於 $c$
(C) $c$ 恆大於 $d$
(D) $b+c$ 可能等於 $\frac{1}{2}$
(E) $a+d$ 可能等於 $\frac{5}{8}$
答：
(A)(B)(E)
詳解
1. **建立列聯表人數分析**：
設同時近視且蛀牙的人數為 $A$，則其餘類別人數如下：
其中比例分別為 $a = \frac{A}{40}, b = \frac{B}{40}, c = \frac{C}{40}, d = \frac{D}{40}$。
根據各項人數皆 $\ge 0$ 可得：$15 \le A \le 21$。
2. **選項分析**：
(A) **$a=b$**：即 $A = 34-A \Rightarrow A=17$，在此範圍內，正確。
(B) **$b > c$**：$(34-A) - (21-A) = 13 > 0$，故 $b$ 恆大於 $c$，正確。
(C) **$c > d$**：$(21-A) - (A-15) = 36-2A$，當 $A=20$ 時 $c < d$，錯誤。
(D) **$b+c = \frac{1}{2}$**：即 $B+C = 20$。由表知 $B+C = (34-A)+(21-A) = 55-2A$，若要等於 20 則 $2A=35 \Rightarrow A=17.5$（人數非整數），錯誤。
(E) **$a+d = \frac{5}{8}$**：即 $A+D = 40 \times \frac{5}{8} = 25$。由表知 $A+D = A+(A-15) = 2A-15$，若 $2A-15=25 \Rightarrow A=20$，在此範圍內，正確。
設同時近視且蛀牙的人數為 $A$，則其餘類別人數如下：
| 人數 | 蛀牙 | 沒蛀牙 | 合計 |
| 近視 | $A$ | $B = 34 - A$ | 34 |
| 沒近視 | $C = 21 - A$ | $D = A - 15$ | 6 |
| 合計 | 21 | 19 | 40 |
根據各項人數皆 $\ge 0$ 可得：$15 \le A \le 21$。
2. **選項分析**：
(A) **$a=b$**：即 $A = 34-A \Rightarrow A=17$，在此範圍內，正確。
(B) **$b > c$**：$(34-A) - (21-A) = 13 > 0$，故 $b$ 恆大於 $c$，正確。
(C) **$c > d$**：$(21-A) - (A-15) = 36-2A$，當 $A=20$ 時 $c < d$，錯誤。
(D) **$b+c = \frac{1}{2}$**：即 $B+C = 20$。由表知 $B+C = (34-A)+(21-A) = 55-2A$，若要等於 20 則 $2A=35 \Rightarrow A=17.5$（人數非整數），錯誤。
(E) **$a+d = \frac{5}{8}$**：即 $A+D = 40 \times \frac{5}{8} = 25$。由表知 $A+D = A+(A-15) = 2A-15$，若 $2A-15=25 \Rightarrow A=20$，在此範圍內，正確。
三、 填充題（共 14 格，每格 5 分，共 70 分）
題目 1
張爺爺申請銀行提款卡，其密碼格式為四個阿拉伯數字，且預設密碼為 0000。張爺爺為了好記憶，他將預設密碼更改後（不再用 0000），設定新密碼的四個數字皆為偶數，但是他最不喜歡出現連續四個 4。試問他更改後的密碼共有 ________ 種可能性。
答：
623
詳解
1. **分析數字選擇**：題目要求密碼皆為偶數，可選擇的數字為 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 共 5 種。
2. **總排法**：四個位置各有 5 種選擇，共有 $5^4 = 625$ 種。
3. **扣除不符條件者**：
• 題目規定「不再用 0000」，需扣除 1 種。
• 題目規定「不喜歡出現連續四個 4」（即 4444），需扣除 1 種。
4. **計算結果**：$625 - 2 = 623$。
2. **總排法**：四個位置各有 5 種選擇，共有 $5^4 = 625$ 種。
3. **扣除不符條件者**：
• 題目規定「不再用 0000」，需扣除 1 種。
• 題目規定「不喜歡出現連續四個 4」（即 4444），需扣除 1 種。
4. **計算結果**：$625 - 2 = 623$。
題目 2
將「天知地知你知我知」八字全取作排列，若「天」要排在「地」的左方有 ________ 種方法。
答：
840
詳解
1. **分析字頻**：
• 「知」：4 次。
• 「天、地、你、我」：各 1 次。
2. **處理相對位置**：
題目要求「天」在「地」的左方，依照不盡相異物排列邏輯，將「天」與「地」視為兩個相同符號 $\square$，排完後再按順序填入天、地（僅 1 種填法）。
3. **計算過程**：
總方法數 $= \frac{8!}{\text{(知)}! \times \text{(天地視為相同)}!} \times 1$
$= \frac{8!}{4! \times 2!} \times 1$
$= \frac{40320}{24 \times 2} = \frac{40320}{48} = 840$。
• 「知」：4 次。
• 「天、地、你、我」：各 1 次。
2. **處理相對位置**：
題目要求「天」在「地」的左方，依照不盡相異物排列邏輯，將「天」與「地」視為兩個相同符號 $\square$，排完後再按順序填入天、地（僅 1 種填法）。
3. **計算過程**：
總方法數 $= \frac{8!}{\text{(知)}! \times \text{(天地視為相同)}!} \times 1$
$= \frac{8!}{4! \times 2!} \times 1$
$= \frac{40320}{24 \times 2} = \frac{40320}{48} = 840$。
題目 3
已知 $(1-ax)(2+x)^5$ 的展開式中 $x^3$ 項的係數為 $20$，求實數 $a$ 的值為 ________。
答：
$\frac{1}{4}$
詳解
1. **展開二項式**：
$(2+x)^5 = \dots + C^5_2 \cdot 2^3 \cdot x^2 + C^5_3 \cdot 2^2 \cdot x^3 + \dots$
其中 $x^2$ 項為 $10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$；$x^3$ 項為 $10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$。
2. **組合出 $x^3$ 項**：
$(1-ax)(\dots + 80x^2 + 40x^3 + \dots)$
係數來源為：$1 \cdot (40) + (-a) \cdot (80) = 40 - 80a$。
3. **求解 $a$**：
$40 - 80a = 20 \Rightarrow 80a = 20 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$。
$(2+x)^5 = \dots + C^5_2 \cdot 2^3 \cdot x^2 + C^5_3 \cdot 2^2 \cdot x^3 + \dots$
其中 $x^2$ 項為 $10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$；$x^3$ 項為 $10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$。
2. **組合出 $x^3$ 項**：
$(1-ax)(\dots + 80x^2 + 40x^3 + \dots)$
係數來源為：$1 \cdot (40) + (-a) \cdot (80) = 40 - 80a$。
3. **求解 $a$**：
$40 - 80a = 20 \Rightarrow 80a = 20 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$。
題目 4
一袋中有 5 個白球、4 個紅球、3 個黑球，自袋中任取 4 球，每球被取出的機會均等，則每色球至少取 1 個的機率為 ________。
答：
$\frac{6}{11}$
詳解
1. **樣本空間**：
$n(S) = C^{12}_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$。
2. **符合條件的情況（每色至少一個，共取四球，必為 2,1,1 分配）**：
• (白2, 紅1, 黑1)：$C^5_2 \cdot C^4_1 \cdot C^3_1 = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120$
• (白1, 紅2, 黑1)：$C^5_1 \cdot C^4_2 \cdot C^3_1 = 5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$
• (白1, 紅1, 黑2)：$C^5_1 \cdot C^4_1 \cdot C^3_2 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
共有 $120 + 90 + 60 = 270$ 種。
3. **計算機率**：
$P = \frac{270}{495} = \frac{6}{11}$。
$n(S) = C^{12}_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$。
2. **符合條件的情況（每色至少一個，共取四球，必為 2,1,1 分配）**：
• (白2, 紅1, 黑1)：$C^5_2 \cdot C^4_1 \cdot C^3_1 = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120$
• (白1, 紅2, 黑1)：$C^5_1 \cdot C^4_2 \cdot C^3_1 = 5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$
• (白1, 紅1, 黑2)：$C^5_1 \cdot C^4_1 \cdot C^3_2 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
共有 $120 + 90 + 60 = 270$ 種。
3. **計算機率**：
$P = \frac{270}{495} = \frac{6}{11}$。
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