115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解
感謝您的耐心等待，若有任何解法上的疑問，歡迎在下方留言討論。
一、 填充題（每題 7 分，共 70 分）
題目 1
與 $115$ 互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：$1, 2, 3, 4, 6, 7, \dots$，試問此數列第 $2026$ 項為何？
答：
2647
詳解
1. 首先將 $115$ 質因數分解：$115 = 5 \times 23$。
2. 利用排容原理計算 $1$ 到 $115$ 中與 $115$ 互質的個數：
$\phi(115) = 115(1 - \frac{1}{5})(1 - \frac{1}{23}) = 115 \times \frac{4}{5} \times \frac{22}{23} = 88$。
3. 我們找第 $2026$ 項：$2026 = 88 \times 23 + 2$。
4. 這代表經過了 $23$ 個週期（每個週期 $115$），剩下的第 $2$ 個數是 $2$。
所求 $= 115 \times 23 + 2 = 2645 + 2 = 2647$。
相關影片
題目 2
小明將自己的生日，月份寫成兩質數的和，日期寫成兩質數的差，最後將此四個質數相乘，得到 $2590$。試問小明的生日是幾月幾日？
答：
7月30日
詳解
將 $2590$ 進行質因數分解：
$2590 = 2 \times 5 \times 7 \times 37$
觀察質數 $37$，在計算日期（兩質數之差）時：
$37$ 只能減去 $7$，結果才會小於 $31$：
$\text{日期} = 37 - 7 = 30$
剩下的質數為 $5$ 與 $2$，用於計算月份（兩質數之和）：
$\text{月份} = 5 + 2 = 7$
故小明的生日為 7月30日。
相關影片
題目 3
已知正實數 $a, b, c$ 滿足 $a^a = 2(\sqrt{b^b}) = 5(\sqrt[5]{c^c}) = 10$，則 $10 \left[ (a \log a)^3 + (\frac{b}{2} \log b)^3 + (\frac{c}{5} \log c)^3 \right] + 3abc(\log a)(\log b)(\log c)$ 的值為何？
答：
$20$
詳解
由 $a^a = 10 \implies a \log a = 1$
由 $2(\sqrt{b^b}) = 10 \implies b^{\frac{b}{2}} = 5 \implies \frac{b}{2} \log b = \log 5$
由 $5(\sqrt[5]{c^c}) = 10 \implies c^{\frac{c}{5}} = 2 \implies \frac{c}{5} \log c = \log 2$
將上述數值代入原式，原式可寫為：
$10 [ 1^3 + (\log 5)^3 + (\log 2)^3 ] + 3(a \log a)(b \log b)(c \log c)$
$= 10 [ 1 + (\log 5)^3 + (\log 2)^3 ] + 3 \log 10 \times \log 5^2 \times \log 2^5$
$= 10 \left( 1 + [ (\log 5)^3 + (\log 2)^3 ] + 3 \log 5 \cdot \log 2 \right)$
利用立方和公式 $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$：
$= 10 \left( 1 + (\log 5 + \log 2) ((\log 5)^2 - \log 5 \log 2 + (\log 2)^2) + 3 \log 5 \log 2 \right)$
由於 $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$：
$= 10 \left( 1 + 1 \cdot ((\log 5)^2 - \log 5 \log 2 + (\log 2)^2) + 3 \log 5 \log 2 \right)$
$= 10 \left( 1 + (\log 5)^2 + 2 \log 5 \log 2 + (\log 2)^2 \right)$
$= 10 \left( 1 + (\log 5 + \log 2)^2 \right)$
$= 10(1 + 1^2) = 20$
相關影片
題目 4
已知實係數多項式方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 8 = 0$ 恰有兩根相等且 $ab = 8$，則 $a - b$ 的值為何？
答：
$2$
詳解
設三根為 $\alpha, \alpha, \beta$，根據根與係數關係：
(1) $\alpha^2 \beta = -8$
(2) $2\alpha + \beta = -a$
(3) $2\alpha \beta + \alpha^2 = b$
由 $ab = 8 \implies -ab = -8$：
$(2\alpha + \beta)(2\alpha \beta + \alpha^2) = -8$
$4\alpha^2 \beta + 2\alpha^3 + 2\alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta = -8$
代入 $\alpha^2 \beta = -8$ 得：
$-40 + 2\alpha^3 + 2\alpha \beta^2 = -8 \implies 2\alpha^3 + 2\alpha \beta^2 = 32 \implies \alpha^3 + \alpha \beta^2 = 16$ --- (4)
由 (4)/(1) 得：$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = -2$
設 $x = \frac{\alpha}{\beta}$，則 $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies x = -1$
故 $\alpha = -\beta$。代入 (1) 得 $\alpha^2(-\alpha) = -8 \implies \alpha^3 = 8 \implies \alpha = 2, \beta = -2$
代回求 $a, b$：
$a = -(2\alpha + \beta) = -(4 - 2) = -2$
$b = 2\alpha \beta + \alpha^2 = 2(2)(-2) + 4 = -4$
$a - b = -2 - (-4) = 2$
相關影片
題目 5
座標平面上，已知水平線 $y = k$ 上恰有相異四個點，可與點 $A(2, -2)$、點 $B(-1, 2)$ 形成等腰三角形，試問這樣的 $k$ 共有幾種可能？
答：
5 種
詳解
等腰三角形的第三個點 $P$ 軌跡為：$\overline{AB}$ 的中垂線，以及分別以 $A, B$ 為圓心、$\overline{AB}$ 為半徑的兩個圓。
1. 水平線 $y=k$ 與兩個圓相切時，各貢獻一個點，$k$ 有 2 種。
2. 水平線 $y=k$ 通過圓心（$A$ 或 $B$）時，$k$ 有 2 種。
3. 水平線通過 $\overline{AB}$ 中點時，$k$ 有 1 種。
綜合圖形對稱性與交點分析，共有 5 種 $k$ 值能使得交點數恰為 4 個。
相關影片
題目 6
空間中有一個三角形，其三個頂點坐標分別為 $A(-3, -2, 1), B(3, 1, 1), C(-1, 0, 2)$。若此三角形的內切圓半徑為 $a + b\sqrt{c} + d\sqrt{e} + f\sqrt{g}$（為簡化根式形態），其中 $a, b, c, d, e, f, g$ 均為有理數，則 $c + e + g$ 的值為何？
答：
$17$
詳解
1. 計算向量：$\vec{AB} = (6, 3, 0), \vec{AC} = (2, 2, 1)$
2. 計算面積 $\triangle ABC = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$：
$\vec{AB} \times \vec{AC} = (3, -6, 6)$
$\triangle ABC = \frac{1}{2} \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2} = \frac{9}{2}$
3. 計算各邊長：
$c = \overline{AB} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}$
$b = \overline{AC} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$
$a = \overline{BC} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}$
4. 利用 $Area = rs$ ($s$ 為半周長)：
$\frac{9}{2} = r \left( \frac{3 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}{2} \right)$
$r = \frac{3}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{5}}$
5. 有理化後，$r$ 會成為 $1, \sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}$ 的線性組合。
根式部分涉及 $c=2, e=5, g=10$
故 $c + e + g = 2 + 5 + 10 = 17$
相關影片
題目 7
已知函數 $f$ 滿足 $f(1+x) + f(1-x) = |x|^{2025}$，則積分 $\int_0^2 f(x) \,dx$ 之值為何？
答：
$\frac{1}{2026}$
詳解
欲求 $I = \int_0^2 f(x) \,dx$，我們利用變數變換處理：
1. 令 $x = 1+t$，則 $dx = dt$。
當 $x=0 \implies t=-1$；當 $x=2 \implies t=1$。
故 $I = \int_{-1}^1 f(1+t) \,dt \quad \cdots (\text{式一})$
2. 另令 $x = 1-t$，則 $dx = -dt$。
當 $x=0 \implies t=1$；當 $x=2 \implies t=-1$。
故 $I = \int_1^{-1} f(1-t) \,(-dt) = \int_{-1}^1 f(1-t) \,dt \quad \cdots (\text{式二})$
3. 將（式一）與（式二）相加：
$2I = \int_{-1}^1 [f(1+t) + f(1-t)] \,dt$
代入已知條件 $f(1+x) + f(1-x) = |x|^{2025}$：
$2I = \int_{-1}^1 |t|^{2025} \,dt$
4. 利用函數的偶對稱性：
$2I = 2 \int_0^1 t^{2025} \,dt$
$I = \int_0^1 t^{2025} \,dt = \left[ \frac{t^{2026}}{2026} \right]_0^1 = \frac{1}{2026}$
故積分值為 $\frac{1}{2026}$。
相關影片
題目 8
給定一個初始數列，將相鄰兩項，用右邊的項減左邊的項後所得的值寫在此兩項中間。例如：初始數列為 $3, 8$，操作一次變 $3, 5, 8$，操作第二次變 $3, 2, 5, 3, 8$。現在初始數列改為 $115, 2026$，試問操作 $20$ 次後得到的數列，其各項總和為多少？
答：
$40361$
詳解
設初始數列為 $a, b$，定義 $S_n$ 為操作 $n$ 次後的各項總和：
- 初始狀態 ($n=0$)：$a, b \implies S_0 = a + b$
- 第 1 次操作 ($n=1$)：$a, (b-a), b \implies S_1 = 2b$
- 第 2 次操作 ($n=2$)：$a, (b-2a), (b-a), a, b \implies S_2 = 3b - a$
- 第 3 次操作 ($n=3$)：$a, (b-3a), (b-2a), a, (b-a), (2a-b), a, b \implies S_3 = 4b - 2a$
觀察總和 $S_n$ 的規律：
$S_1 = 2b - 0a$
$S_2 = 3b - 1a$
$S_3 = 4b - 2a$
由此推導出操作 $n$ 次後的總和公式為：
$S_n = (n+1)b - (n-1)a$
將題目數據 $n=20, a=115, b=2026$ 代入公式：
$S_{20} = (20+1) \times 2026 - (20-1) \times 115$
$= 21 \times 2026 - 19 \times 115$
$= 42546 - 2185$
$= 40361$
故操作 20 次後，各項總和為 $40361$。
相關影片
題目 9
已知正整數數列 $a_n$ ($n \in \mathbb{N}$) 滿足 $a_1 = \frac{2^{2026}(2^{2026}-1)}{3}$ 且
$a_{n+1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2} & , a_n \text{為偶數} \\ 3a_n + 1 & , a_n \text{為奇數} \end{cases}$
則此數列從第幾項開始為 $1$，並且開始形成週期數列？
答：
$4054$
詳解
首先觀察 $a_1$ 的結構。由於 $2^{2026} \equiv 1 \pmod{3}$，故 $2^{2026} - 1$ 可被 $3$ 整除。
已知 $a_1 = 2^{2026} \cdot \frac{2^{2026}-1}{3}$，這是一個偶數。
根據定義，只要 $a_n$ 為偶數就除以 $2$，因此從 $a_1$ 到 $a_{2027}$ 的變化如下：
$a_1$ 經過 $2026$ 次除以 $2$ 的運算後，得到：
$a_{1+2026} = a_{2027} = \frac{2^{2026}-1}{3}$
此時 $a_{2027}$ 為奇數（因為 $2^{2026}-1$ 是奇數且除數為 $3$）。
依照規則 $a_{n+1} = 3a_n + 1$：
$a_{2028} = 3 \cdot \left( \frac{2^{2026}-1}{3} \right) + 1 = 2^{2026} - 1 + 1 = 2^{2026}$
接下來，$a_{2028} = 2^{2026}$ 是一個純粹的 $2$ 的冪次，它會連續進行 $2026$ 次除以 $2$ 的動作直到變成 $1$：
$a_{2028+2026} = a_{4054} = \frac{2^{2026}}{2^{2026}} = 1$
當數列項到達 $1$ 時，後續將遵循 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ 的規律循環。
因此，從第 $4054$ 項開始，數列值為 $1$ 並開始形成週期循環。
相關影片
題目 10
已知 $a, b, \theta$ 為實數，其中 $a^2 + b^2 > 4$，則 $f(a, b, \theta) = \sqrt{(a - 2 \cos \theta)^2 + (b - 2 \sin \theta)^2} + \sqrt{(a + 3)^2 + (b - 4)^2}$ 的最小值為何？
答：
$3$
詳解
1. 令點 $A(a, b)$。
2. 令點 $P(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$，則點 $P$ 落在圓心為原點 $O(0, 0)$、半徑為 $2$ 的圓上。
3. 令點 $B(-3, 4)$。
則原式可看作 $\overline{AP} + \overline{AB}$ 的最小值：
$f(a, b, \theta) = \text{dist}(A, P) + \text{dist}(A, B)$
根據圖形觀察：
- 題目給定 $a^2 + b^2 > 4$，表示點 $A$ 在圓的外側。
- 要使 $\overline{AP} + \overline{AB}$ 最小，當 $A$ 點落在線段 $\overline{BP}$ 上時，$\overline{AP} + \overline{AB}$ 的最小值即為線段 $\overline{BP}$ 的長度。
- 而要使 $\overline{BP}$ 長度最小，點 $P$ 必須位在線段 $\overline{OB}$ 與圓的交點上。
計算過程：
$\overline{OB} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$
$\min = \overline{BP} = \overline{OB} - \text{半徑} = 5 - 2 = 3$
故 $f(a, b, \theta)$ 的最小值為 $3$。
相關影片
二、 計算題（共 2 題，每題 15 分，共 30 分）
題目 1
已知 $x, y, z$ 三數滿足 $x + y + z = 1$ 且 $x^3 + y^3 + z^3 = 2026$，則 $(x+y)(y+z)(z+x)$ 之值為何？
答：
$-675$
詳解
$(x+y)(y+z)(z+x)$
$= (1-z)(1-x)(1-y)$
令 $f(t) = (t-x)(t-y)(t-z)$
$= t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz$
$= t^3 - t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz$
利用恆等式：
$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$= (x+y+z) \left[ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) \right]$
代入數值：
$2026 - 3xyz = 1 \cdot [ 1^2 - 3(xy+yz+zx) ]$
$3(xy+yz+zx) - 3xyz = 1 - 2026$
$3(xy+yz+zx - xyz) = -2025$
觀察 $f(1)$：
$f(1) = 1^3 - 1^2 + (xy+yz+zx) - xyz$
$\implies 3 f(1) = -2025$
$\implies f(1) = -675$
故所求 $= f(1) = -675$
相關影片
題目 2
設 $\triangle ABC$ 中，三邊長 $\overline{AB}=c, \overline{BC}=a, \overline{CA}=b$ 且 $b > c$，若 $\angle BAC = 30^\circ$，則 $\frac{b^2 - c^2}{a^2}$ 的最大值為何？
答：
$2$
詳解
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$：
$\frac{b^2 - c^2}{a^2} = \frac{4R^2 \sin^2 B - 4R^2 \sin^2 C}{4R^2 \sin^2 30^\circ}$
$= \frac{\sin^2 B - \sin^2 C}{\sin^2 30^\circ} = 4 [ \sin^2 (150^\circ - C) - \sin^2 C ]$
其中 $0 < C < 75^\circ$ (因 $b > c \implies B > C$ 且 $B+C=150^\circ$)：
$= 4 \left[ (\frac{1}{2} \cos C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C)^2 - \sin^2 C \right]$
$= 4 \left[ \frac{1}{4} \cos^2 C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C \cos C + \frac{3}{4} \sin^2 C - \sin^2 C \right]$
$= \cos^2 C - \sin^2 C + 2\sqrt{3} \sin C \cos C$
$= \cos 2C + \sqrt{3} \sin 2C$
$= 2 \sin (2C + 30^\circ)$
限制範圍：$30^\circ < 2C + 30^\circ < 180^\circ$
當 $2C + 30^\circ = 90^\circ$ 時，
有最大值 $2$。
沒有留言:
張貼留言