一番賞中的數學力

💡 前言：一番賞中的數學力

近年「一番賞」在台灣非常熱門，許多玩家為了抽中最後賞或集滿全套公仔不惜重金。但你有沒有學過，如果要集滿特定款式的公仔，平均到底要抽多少次？

假設今天有一款一番賞，內含 A、B、C、D 四種公仔，剩下的籤數分別為 2支、3支、4支、10支。小明想要集滿這四種公仔各至少一個，他需要抽取的次數期望值是多少呢？

在進入繁瑣的理論計算之前，不妨先透過底下的 YY Math 模擬工具 實測看看！你可以設定不同的重複次數，親眼見證機率如何在「大數法則」下趨近於真實的期望值。

一番賞模擬：集滿公仔的次數 $X$

A賞

B賞

C賞

D賞

🎯 收集目標： A賞  B賞  C賞  D賞

🗳️

批次執行次

等待指令中...

LAST X0

AVG X (n=0)0.0

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經典題型：直到中獎為止的次數

【題目】

摸彩箱裡有 $20$ 顆球，其中有 $3$ 個中獎球。每球被抽到的機會均等，每次取一球，取後不放回。若 $X$ 為「抽到第一顆中獎球為止」所需要的抽取次數，求 $X$ 的期望值 $E(X)$。

【答】

$E(X) = 5.25$ 次

【詳解：平均間隔法】

我們可以用「平均分配」的概念來直觀思考，不需要複雜的公式：

1. 想像隔板：將 $3$ 顆中獎球看作隔板，它們會將剩下的空間平分成 $3 + 1 = 4$ 個區塊。
2. 分配球數：剩下的 $17$ 顆不中獎球會「平均」落在這 $4$ 個區塊中。因此，每個區塊平均分配到的不中獎球數為：

$$\frac{17}{3 + 1} = 4.25 \text{ (顆)}$$

3. 目標次數：我們要抽到「第一顆」中獎球，代表必須先抽完第一個區塊中的不中獎球，然後再多抽 $1$ 次（那一抽就是中獎球）。
4. 計算結果：

$$E(X) = 4.25 + 1 = 5.25 \text{ (次)}$$

🛠️ 工具實測： 請在上方模擬工具設定 A賞=3, B賞=17，並勾選 A賞 作為目標。你會發現 LAST X 是抽到「第一顆 A」就停止。執行批次模擬後，AVG X 應該會非常接近 5.25！

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題組二：集滿 A 與 B 兩類賞

【題目】

箱子裡有 $3$ 個 A 賞與 $4$ 個 B 賞。採取「取後不放回」的方式，直到 A 賞與 B 賞都各至少收集到一個為止。若 $X$ 為抽取的次數，求 $X$ 的期望值 $E(X)$。

【答】

$E(X) = 2.6$ 次

【詳解：期望值排容原理】

要計算「直到集滿 A 且集滿 B」的次數，公式如下：

$E(\text{集滿 A 且 B}) = E(\text{集滿 A}) + E(\text{集滿 B}) - E(\text{抽中 A 或 B})$

我們利用「平均間隔法」分別計算這三項：

• ❶ $E(\text{集滿 A})$：只看 A。將 $3$ 個 A 看作隔板，剩下的 $4$ 個 B 平均分配。
  ➔ $\frac{4}{3+1} + 1 = \mathbf{2}$
• ❷ $E(\text{集滿 B})$：只看 B。將 $4$ 個 B 看作隔板，剩下的 $3$ 個 A 平均分配。
  ➔ $\frac{3}{4+1} + 1 = \mathbf{1.6}$
• ❸ $E(\text{抽中 A 或 B})$：只要抽到 A 或 B 其中一種就停。因為箱子裡只有 A 跟 B，所以第一抽絕對會中其中一種。
  ➔ $\mathbf{1}$

最終計算：

$E(X) = 2 + 1.6 - 1 = \mathbf{2.6}$

※ 註：最後減掉的 1，代表 A 與 B 共同競爭「第一抽」的位置，這就是排容原理修正重複計算的核心。

🧪 模擬驗證： 在工具設定 A賞=3, B賞=4 並勾選 A賞、B賞，執行批次重跑，模擬結果會非常接近 2.6。

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🚀 回到最初的問題：四種賞的大集結

【題目重溫】

某一番賞剩餘籤數如下：A賞2支、B賞3支、C賞4支、D賞10支，總計 $19$ 支。若小明以「不放回」的方式抽籤，直到集滿 A、B、C、D 四種公仔各至少一個為止，期望值 $E(X)$ 究竟是多少？

【核心思路：四項排容】

既然我們已經學會了「集滿兩類」的排容，那麼「集滿四類」就是它的延伸版：

$$E(X) = \sum E(\text{單一類}) - \sum E(\text{兩類任一}) + \sum E(\text{三類任一}) - E(\text{四類任一})$$

這看起來很嚇人，但其實每一項都可以用剛才教的「平均間隔法」快速算出！例如：

• $E(\text{單看 A}) = \frac{17}{2+1} + 1 \approx 6.67$
• $E(\text{單看 D}) = \frac{9}{10+1} + 1 \approx 1.82$

將這 $15$ 個組合（$4$單、$6$雙、$4$三、$1$四）全部加減修正後，你就會得到最終的精確答案！

【相關影片：大魔王的終極解法】

📺

點擊觀看：YY Math 完整排容過程演示

💡 建議先動手算算看，再拉上去用模擬器驗證你的答案喔！