115學年度 臺北市立建國高級中學 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
目前進度：題目與簡答已更新。詳解內容正由 歪歪數學 趕工製作中，請稍候。
一、 填充題（每題 6 分，共 72 分）
題目 1
已知 $z, w$ 皆為非零複數，且滿足 $|z-2w|=3$。若 $\frac{z}{w}$ 的主幅角為 $\frac{\pi}{3}$，則 $|z|+|w|$ 的最大值為 ________。
答：
$\sqrt{21}$
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題目 2
已知 $x, y$ 皆為正實數，且滿足 $x^3+y^3+3xy=1$，則 $x^2y$ 的最大值為 ________。
答：
$\frac{4}{27}$
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題目 3
已知數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_1=1, a_2=5$ 且 $\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}+2}=2$。試求 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}}{n^2}$ 之值為 ________。
答：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
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題目 4
已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A, \angle B, \angle C$ 所對應的邊分別為 $a, b, c$，且 $c=5, \frac{\cos A}{\cos B} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ 。點 $P$ 為 $\triangle ABC$ 內切圓上的動點，$d$ 為點 $P$ 到頂點 $A, B, C$ 距離的平方和 。令 $d$ 的最小值與最大值分別為 $d_{\min}, d_{\max}$，則 $d_{\min} + d_{\max}$ 的值為 ________。
答：
$40$
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題目 5
已知 $z$ 為複數，若 $\frac{z+1}{z-1}$ 是純虛數，則 $|z^2-2z+3|$ 的最小值為 ________ 。
答：
$\frac{2}{3}\sqrt{6}$
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題目 6
已知 $3^{2^{2026}} - 1 = 2^n \cdot m$，其中 $m$ 為奇數，則正整數 $n$ 為 ________ 。
答：
$2028$
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題目 7
在一個 $2 \times 7$ 的格子內填入數字 $a_{i,j} \in \{1, 2, 3\}$，使其滿足 $a_{i,j} \le a_{i+1,j}$ 且 $a_{i,j} \le a_{i,j+1}$，則相異的填法數共有 ________ 種。
答：
$540$
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題目 8
已知 $a \in \mathbb{R}$，且對所有 $k \in [-1, 1]$，當 $x \in (0, 4]$ 時，$5\ln x + x^2 - 8x + a \le kx$ 恆成立，則 $a$ 的最大值為 ________。（註：$1.386 < \ln 4 < 1.387$）
答：
$12 - 10\ln 2$
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題目 9
設 $[x]$ 表示「小於或等於實數 $x$ 的最大整數」，則滿足 $x \cdot [x \cdot [x \cdot [x]]] = 114$ 的所有實數 $x$ 為 ________。
答：
$\frac{11}{4}$
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題目 10
設 $x \ge 1$，若函數 $f(x) = x^2 - 2x - 2 - 16\sqrt{x-1} + x\sqrt{x^2 - 4x - 32\sqrt{x-1} + 76}$ 於 $x = x_0$ 時有最小值 $m$，則實數對 $(x_0, m)$ 為 ________。
答：
$\left( \frac{17+\sqrt{17}}{8}, -6 \right)$
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題目 11
箱子中有 13 顆球，編號分別為 $1, 2, 3, \cdots, 13$。從中隨機取出三顆相異的球，並觀察其編號，假設箱子中的每顆球被取到的機會均等。已知這三顆球編號的乘積為 $a$，這三顆球編號的總和為 $b$，則 $a$ 或 $b$ 為完全平方數的機率為 ________。
答：
$\frac{45}{286}$
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題目 12
給定一個正三稜柱 $ABC-A_1B_1C_1$，其中 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A_1B_1C_1$ 皆為正三角形，側面皆為正方形，且所有稜長皆為 1，則兩直線 $\overline{AB_1}$ 和 $\overline{C_1B}$ 的距離為 ________。
答：
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
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二、 計算題（共 28 分）
題目 1
設 $x$ 為實數，若函數 $f(x) = |x-1| + a|x-b| + 3|x-115|$，其中 $a, b$ 皆為整數且 $1 < b < 115$，已知 $f(x)$ 的最小值為 12，請回答下列各小題：
(1) 試證：$a < 0$。（4 分）
(2) 試求所有滿足題目條件的數對 $(a, b)$。（10 分）
答：
(1) 略（見詳解）
(2) $(a,b) = (-1,13), (-2,64), (-3,81), (-3,111)$
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題目 2
已知 $p > 3$，且 $p$ 為質數，若 $\sum\limits_{n=3}^{p-1} \frac{n^3}{(n-1)(n-2)} = \frac{b}{a}$，其中 $a, b$ 互質，試證：$p$ 為 $b$ 的因數。（14 分）
答：
略（見詳解證明）
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