115學年度 國立中興大學附屬高級中學 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
目前進度：題目與簡答已全數上線。詳解內容正由 歪歪數學 趕工製作中，請稍候。
第壹部分、填充題（每題 6 分，共 60 分）
題目 2
已知多項式 $f(x)=(x^2+x+1)^5$ 展開後為 $a_{10}x^{10}+a_9x^9+a_8x^8+\cdots+a_1x+a_0$，則 $11a_{10}+10a_9+9a_8+\cdots+2a_1+a_0$ 的值為 ________。
答：
$1458$
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題目 3
$\triangle ABC$ 中，已知 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 54$，$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 10$，$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 90$，則 $\triangle ABC$ 的面積為 ________。
答：
$15\sqrt{7}$
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題目 4
求滿足方程式 $\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{2x^2+x+5}=\sqrt{x^2-3x+13}$ 的正實數 $x$。
答：
$\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$
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題目 5
從正整數 $1, 2, 3, \dots, n$ 中任取相異的兩數相乘，若這 $\frac{n(n-1)}{2}$ 個乘積的算術平均數為 $55$，則 $n$ 值為 ________。
答：
$14$
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題目 6
如圖所示，二直線 $L_1: x+3y=k_1$ 與 $L_2: 2x+y=k_2$ 相交於 $A$ 點。在 $L_1$ 上一點 $P_1$ 向左走 $60$ 單位到 $L_2$ 上的 $P_2$ 點；再從 $P_2$ 向上走到 $L_1$ 的 $P_3$ 點；再從 $P_3$ 向左走到 $L_2$ 上的 $P_4$ 點；依此規則持續走下去，在 $L_1$ 上得到 $P_1, P_3, P_5, \dots$，在 $L_2$ 上得到 $P_2, P_4, P_6, \dots$，求 $\sum_{k=1}^{\infty}\overline{P_kP_{k+1}}$ 之值。
答：
$96$
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題目 7
設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊息的機率。
答：
$\frac{19}{32}$
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題目 8
坐標空間中有一個稜長為 $1$ 的正立方體 $OABC-DEFG$，示意圖如圖。$P$ 點在 $\overline{CG}$ 上且 $\overline{CP}:\overline{PG}=1:2$，若 $P$ 點在平面 $ADF$ 上的投影點為 $H$ 點，求 $H$ 點到平面 $OABC$ 的最短距離。
答：
$\frac{8}{9}$
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題目 9
$\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{BC}=6$ 且 $\overline{AB}=2\overline{AC}$，當 $\triangle ABC$ 面積有最大值時，則 $\cos A =$ ________。
答：
$\frac{4}{5}$
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題目 10
有一底面半徑為 $3$ 公分且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水平面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 $45^\circ$ 角。求此圓柱體在水面下的立體體積為 ________ 立方公分。
答：
$18$
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第貳部分、計算題（每題 10 分，共 40 分）
計算題 1
設 $a, b, c$ 為正實數，且滿足 $a+b+c=4$。試求 $(a+\frac{1}{a})^2 + (b+\frac{1}{b})^2 + (c+\frac{1}{c})^2$ 的最小值 。
答：
$\frac{625}{48}$
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計算題 2
某租借站的車輛借用狀況遵循以下規則：若當天有車，隔天無車的機率為 $\frac{1}{4}$；若當天無車，隔天無車的機率為 $\frac{1}{2}$ 。假設第 $1$ 天該站有車可借，我們觀察該站的每日車輛狀況序列，定義隨機變數 $X$ 為滿足以下條件的最小正整數：第 $X$ 天與第 $X+1$ 天皆無車可借。試求 $X$ 的期望值 。
答：
$10$ 天
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計算題 3
設 $\triangle ABC$ 的內部一點 $P$，已知 $\overline{AB}=6, \overline{AC}=4, \overline{AP}=2, \angle BAC=60^\circ$，且點 $P$ 在 $\angle BAC$ 的平分線上 。試回答下列問題：
(1) 求向量內積 $\vec{PB} \cdot \vec{PC} = ?$ （4分）
(2) 若點 $K$ 滿足 $\vec{AK} = x\vec{AB} + y\vec{AP} + z\vec{AC}$，其中 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 且 $x+y+z=1$，求動點 $K$ 所成的集合之面積？（6分）
答：
(1) $16-10\sqrt{3}$
(2) $6\sqrt{3}-5$
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計算題 4
設對所有的正數 $x$，$f(x)$ 滿足 $f(3x)=3f(x)$。當函數 $f(x)$ 在 $1 \le x \le 3$ 時滿足 $f(x)=1-|x-2|$。
(1) 求 $f(2026)$ 之值？（4分）
(2) 求滿足 $f(x)=f(2026)$ 的最小正數 $x = ?$ （6分）
答：
(1) $161$
(2) $\frac{404}{243}$
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