115學年度 新竹市立成德高中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
目前進度：題目與簡答已全數上線。詳解內容正由 歪歪數學 趕工製作中，請稍候。
第一部份：填充題（每題 6 分，共 60 分）
題目 1
在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB}=3$，$\overline{AC}=4$，$\overline{BC}=5$，$I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，$P$ 為 $\triangle IBC$ (包括邊界) 內的一點，若 $\vec{AP} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AC}$ ($\alpha, \beta \in \mathbb{R}$)，則 $\alpha + \beta$ 的最小值為 ________。
答：
$\frac{7}{12}$
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題目 2
分別執行 $A$、$B$ 兩個伯努利試驗 (Bernoulli trial)，每次成功機率依序分別為 $a$、$b$。若各執行 $n$ 次，得 $A$ 的成功次數期望值恰為 $B$ 的 $5$ 倍、$A$ 的成功次數標準差恰為 $B$ 的 $2$ 倍，則 $(a, b) =$ ________。
答：
$(\frac{5}{21}, \frac{1}{21})$
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題目 3
坐標平面上有一平行四邊形$\Gamma$，其中兩邊所在的直線與 $5x-2y=0$ 平行、另兩邊所在的直線與 $8x-7y=0$ 垂直。令 $\Gamma$ 的兩對角線交點為 $Q$。已知有一頂點 $P$，滿足 $\vec{PQ}=(5, -1)$，則$\Gamma$ 的面積為 ________。
答：
54
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題目 4
在空間中，6 個平面 $E_1: 2x+y+z=0$、$E_2: 2x+y+z=1$、$E_3: x+2y+z=0$、$E_4: x+2y+z=2$、$E_5: x+y+2z=1$、$E_6: x+y+2z=3$ 所圍成的平行六面體體積為 ________。
答：
1
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題目 5
甲乙兩人比賽桌球，約定比賽進行到打滿 6 局或有一人比另一人多贏 2 局時，比賽即終止。設每局均無平局，已知甲在每局中獲勝的機率為 $1/4$，且各局勝負互不影響。求比賽結束時，已賽局數的期望值為 ________。
答：
$\frac{97}{32}$
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題目 6
設函數 $y = \frac{\sin 2x - 3}{\sin x + \cos x - 2}$ 的最大值為 $M$，最小值為 $m$，則 $M - m =$ ________。
答：
$2\sqrt{2}$
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題目 7
設 $x$ 為正數，已知 $f(x) = x^2 + 2x + 3+ \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2}$，求 $f(x)$ 最小值為 ________。
答：
$3\sqrt[3]{16}+3\sqrt[3]{4}+3$
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題目 8
坐標平面上，有一 $P$ 點先以原點 $O$ 為中心逆時針旋轉 $70^\circ$，再對直線 $L: (\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y = 0$ 做鏡射，其結果相當於 $P$ 點直接對於直線 $M: y = (\tan \theta)x$ 做鏡射，其中 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$，求 $\theta$ 之度數為 ________。
答：
$160^\circ$
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題目 9
在數列 $\langle a_n \rangle$ 中，當 $1 \le n \le 5$ 時，$a_n = n^2$，且對所有正整數 $n$，$a_{n+5} + a_{n+1} = a_{n+4} + a_n$ 均成立，則 $a_{2031} =$ ________。
答：
17
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題目 10
設 $x$ 為實數，試解 $2^x + 4^x + 8^x = 39$，$x =$ ________。
答：
$\log_2 3$
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第二部份：填充題（每題 8 分，共 40 分）
題目 1
請問數列 $\left[ \frac{1^2}{2026} \right], \left[ \frac{2^2}{2026} \right], \left[ \frac{3^2}{2026} \right], \dots, \left[ \frac{2026^2}{2026} \right]$ 中共有幾個相異整數？
答：
1520
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題目 2
已知 $a, b$ 是正實數，若方程式 $x^2 + 2ax + 16b = 0$ 和 $x^2 + 2bx + 2a = 0$ 均有實數根，則 $a^2 + b^2$ 的最小值為 ________。
答：
80
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題目 3
試求級數 $\sum\limits_{n=1}^{2026} (-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}$之值為 ________。
答：
$-1 + \frac{2027}{2026!}$
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題目 4
設複數$z|$滿足 $\frac{2026z - 4}{z - 2026} = 1 - \sqrt{3}i$，則 $|z| =$ ________。
答：
2
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題目 5
右圖是一張圓形的紙張，半徑為 1，圓心為 $O$，$\overline{AB}$ 是直徑，$\overline{OC}$ 是垂直 $\overline{AB}$ 的半徑，$E$ 是 $\overline{OC}$ 上一點滿足 $\overline{OE} = \frac{1}{3}$，沿某條折線 $\overline{AD}$ 對摺，使得弧 $AD$ 上某一點與 $E$ 重合，則 $\tan \angle OAD =$ ________。
答：
$\frac{3+\sqrt{65}}{14}$
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