112年度中區分科模考數甲試題詳解

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SOL：

答案：(3)
數據最集中是另外八科均為平均分數，此時平均分數為$70$分，故$\sigma=\sqrt{\frac{(100-70)^2+(40-70)^2}{10}}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13.4$，所以$k$最接近$13$。#

SOL：

答案：(5)
(1)$\int_1^2(x^2)^2\pi dx=\frac{x^5}{5}\pi|_1^2=\frac{31}{5}\pi$。
(2)$\int_1^2(-x^2+4)^2\pi dx=\pi (\frac{x^5}{5}-\frac{24x^3}{3}+16x)|_1^2=\frac{53}{15}\pi$。
(3)$\int_1^2(x^3-x)^2\pi dx=\pi (\frac{x^7}{7}-\frac{2x^5}{5}+\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{848}{105}\pi$
(4)$y=|x+1|+|x-2|$的函數圖形如下
繞$x$軸的旋轉體為半徑為$3$、高為$1$的圓柱體，故體積為$9\pi$。
(5)$\int_1^2(\sqrt{12-x^2})^2\pi dx=\pi (12x-\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{29}{3}\pi$
所以體積最大值為選項(5)。

SOL：

答案：(1)
令$P(x,y)$，則$| \vec{OA}\cdot \vec{OP}|=16\Rightarrow (3,4)\cdot(x,y)=\pm 16$，故點$p$落在直線$3x+4y=16或3x+4y=-16$上。
圓$(x+2)^2+(y-5)^2=36$與直線$3x+4y=16$，$3x+4y=-16$相交的情況如下圖
所求即為$\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}d(L_1,L_2)\cdot \overline{P_2P_3}$。
$d(L_1,L_2)=\frac{|16+16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{32}{5}$。
$d(C,L_2)=\frac{|3\cdot(-2)+4\cdot5-16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{2}{5}$，所以$\overline{P_2P_3}=2\sqrt{6^2-(\frac{2}{5})^2}=\frac{16}{5}\sqrt{14}$。
因此所求$\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{32}{5}\cdot\frac{16}{5}\sqrt{14}=\frac{256}{25}\sqrt{14}$。

SOL：

答案：(2)(5)

(1)期望值$E=\frac{3\cdot(1+2+3+4+5)}{15}=3$。

(2)等差數列的三數為

SOL：

答案：(1)(3)(5)
(1)因為$b$為正數，且$b^2>b^3$，所以$b<1$。而且$b^2>a^2$，所以$a<b<1$。
(2)因為$a<b\Rightarrow -a>-b\Rightarrow 2^{-a}>2^{-b}$。
(3)$a^{\log_a^b}=b$，$a<1\Rightarrow \log a<0\Rightarrow b^{\log a}>1$，故$ b^{\log a}>1>b=a^{\log_a^b}$。
(4)$\log (a+1)^b=b\log (a+1)>0$，$\log a^{b+1}=(b+1)\log a<0$，故$\log (a+1)^b>0>\log a^{b+1}$。
(5)因為$0<a<b<1$，所以$0<a<b<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi<a<b<\frac{3\pi}{2}$，故$\sin (\pi+a)>\sin (\pi+a)$。