112年度中區分科模考數甲試題詳解

試題講解影片點擊：YOUTUBE頻道

※官方詳解下載連結請移至文章最下面※

SOL：

答案：(3)
數據最集中是另外八科均為平均分數，此時平均分數為 $70$ 分，故 $\sigma=\sqrt{\frac{(100-70)^2+(40-70)^2}{10}}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13.4$ ，所以 $k$ 最接近 $13$ 。#

SOL：

答案：(5)
(1) $\int_1^2(x^2)^2\pi dx=\frac{x^5}{5}\pi|_1^2=\frac{31}{5}\pi$ 。
(2) $\int_1^2(-x^2+4)^2\pi dx=\pi (\frac{x^5}{5}-\frac{24x^3}{3}+16x)|_1^2=\frac{53}{15}\pi$ 。
(3) $\int_1^2(x^3-x)^2\pi dx=\pi (\frac{x^7}{7}-\frac{2x^5}{5}+\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{848}{105}\pi$
(4) $y=|x+1|+|x-2|$ 的函數圖形如下
繞 $x$ 軸的旋轉體為半徑為 $3$ 、高為 $1$ 的圓柱體，故體積為 $9\pi$ 。
(5) $\int_1^2(\sqrt{12-x^2})^2\pi dx=\pi (12x-\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{29}{3}\pi$
所以體積最大值為選項(5)。

SOL：

答案：(1)
令 $P(x,y)$ ，則 $| \vec{OA}\cdot \vec{OP}|=16\Rightarrow (3,4)\cdot(x,y)=\pm 16$ ，故點 $p$ 落在直線 $3x+4y=16或3x+4y=-16$ 上。
圓 $(x+2)^2+(y-5)^2=36$ 與直線 $3x+4y=16$ ， $3x+4y=-16$ 相交的情況如下圖
所求即為 $\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}d(L_1,L_2)\cdot \overline{P_2P_3}$ 。
$d(L_1,L_2)=\frac{|16+16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{32}{5}$ 。
$d(C,L_2)=\frac{|3\cdot(-2)+4\cdot5-16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{2}{5}$ ，所以 $\overline{P_2P_3}=2\sqrt{6^2-(\frac{2}{5})^2}=\frac{16}{5}\sqrt{14}$ 。
因此所求 $\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{32}{5}\cdot\frac{16}{5}\sqrt{14}=\frac{256}{25}\sqrt{14}$ 。

SOL：

答案：(2)(5)

(1)期望值

$E=\frac{3\cdot(1+2+3+4+5)}{15}=3$ 。

(2)等差數列的三數為

SOL：

答案：(1)(3)(5)
(1)因為 $b$ 為正數，且 $b^2>b^3$ ，所以 $b<1$ 。而且 $b^2>a^2$ ，所以 $a<b<1$ 。
(2)因為 $a<b\Rightarrow -a>-b\Rightarrow 2^{-a}>2^{-b}$ 。
(3) $a^{\log_a^b}=b$ ， $a<1\Rightarrow \log a<0\Rightarrow b^{\log a}>1$ ，故 $b^{\log a}>1>b=a^{\log_a^b}$ 。
(4) $\log (a+1)^b=b\log (a+1)>0$ ， $\log a^{b+1}=(b+1)\log a<0$ ，故 $\log (a+1)^b>0>\log a^{b+1}$ 。
(5)因為 $0<a<b<1$ ，所以 $0<a<b<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi<a<b<\frac{3\pi}{2}$ ，故 $\sin (\pi+a)>\sin (\pi+a)$ 。