113年師大附中教師甄試詳解

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考題討論直播：113/04/06(日) 8：00 直播頻道連結

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答案：$3$

SOL：

原式可整理為$x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$，因為$x>0$，所以$x=-1$不合，故所有解之和為$2+1=3$。#

答案：$-8$

SOL：

原式合併後等於$(1-16x^4)^5$，由二項式定理，$a=C^5_3(-16)^3$，$b=C^5_4(-16)^4$所以$\frac{b}{a}=\frac{-16}{2}=-8$。#

答案：$60$

SOL：

法一：

因為$\displaystyle \sum^{12}_{i=1} b_i=0，\displaystyle \sum^{12}_{i=1} b^2_i=12$，則$\displaystyle \sum^{12}_{i=1} a_ib_i=\displaystyle \sum^{12}_{i=1} (5b_i+13)b_i=5\times12=60$。#

法二：

因為變量$a、b$的相關係數為$1$，則$ \frac{ \sum^{12}_{i=1} a_ib_i-12\mu_x \mu_y}{12\sigma_x \sigma_y}=1\Rightarrow \displaystyle \sum^{12}_{i=1} a_ib_i =60$。#

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答案：$5+\sqrt{6}$

SOL：

令$P(x,y)$，則$\vec{PA}\cdot\vec{PB}=(1-x,7-y)\cdot(7-x,-1-y)=x^2-8x+y^2-6y=-19$，故$(x-4)^2+(y-3)^2=6$。所以點$P$在以$(4,3)$為圓心，半徑$\sqrt{6}$的圓上，因此$\overline{OP}$的最大值為$5+\sqrt{6}$。#

答案：$\frac{49}{6}$

SOL：

對$a$偏微，$6(3a-2b+1)+4(2a+b-2)+8(4a-5b-3)=0\Rightarrow 29a-24b=13$
對$b$偏微，$-4(3a-2b+1)+2(2a+b-2)-10(4a-5b-3)=0\Rightarrow -24a+30b=-11$
$$\cases{29a-24b=13 \\ -24a+30b=-11}\Rightarrow \cases{a=\frac{3}{7} \\ b=\frac{-1}{42}}$$，代入算得最小值為$\frac{49}{6}$。#

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答案：$\frac{-2}{5}$

SOL：

令$t=\frac{1}{x}$，則原式整理為$\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sqrt[5]{1+3t+4t^2+3t^4}+\sqrt[3]{1+3t+4t^2+t^3}}{t}$
$ \overset{L'}{=}\lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{5}(1+3t+4t^2+3t^4)^{-\frac{4}{5}}(3+8t+12t^3)-\frac{1}{3}(1+3t+4t^2+t^3)^{-\frac{2}{3}}(3+8t+3t^2)$
$=\frac{3}{5}-1=\frac{-2}{5}$。#

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答案：$128$

SOL：

把原式微分，$f(x)+(x-1)f'(x)=4f(x) \Rightarrow 3f(x)=(x-1)f'(x)$，比較首相係數可推得$f(x)$為三次多項式，且$f(1)=0，f'(0)=6$。
令$f(x)=(x-1)(ax^2+bx+2)=ax^3+(b-a)x^2+(2-b)x-2\Rightarrow f'(0)=2-b=6$，故$b=-4$
$\int_{0}^{1} f(t)dt=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{4}+\frac{-4-a}{3}+3-2=-\frac{1}{2}\Rightarrow a=2$，故$f(x)=2x^3-6x^2+6x-2$，則$f(5)=128$。#

答案：$\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}$

SOL：

$z$為斜$18^{\circ}$的正八邊形的頂點，而$\omega$為直線$L：2x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$上的動點。
正八邊形的頂點中，在第一象限的頂點最接近直線，故$A(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3})=A(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$B(\cos \frac{\pi}{10}, \sin \frac{\pi}{10})=B(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$，最接近直線。
代入點到直線的距離公式，
$d(A,L)=\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}\approx 0.3643$，且$d(B,L)=\frac{\sqrt{42}+8\sqrt{21}-5\sqrt{14}}{28}\approx 0.8726$，所以最小值為$\frac{4\sqrt{21}-5\sqrt{7}}{14}$。#

答案：$12$

SOL：

$P(X\geq k)=1-（0.2+0.2(0.8)^1+0.2(0.8)^2+\cdots +0.2(0.8)^{k-2}）<0.1$，則$(\frac{2}{5})^{k-1}<\frac{1}{10}\Rightarrow (k-1)(\log 8 -1)<\Rightarrow k-1>\frac{1000}{97} \approx 10.3\Rightarrow k>11.3 $，故$k=12$。#