112學年度 全國高中學測模擬考 數學(高二生適用) 試題詳解

 112學年度 全國模考（高二用） 數學 試題詳解

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SOL：

設全體同學中女同學問的比例為$x$，則男同學的比例為$1-x$，選擇方案一的男、女同學占比分為$\frac{1-x}{2}、\frac{x}{4}$，故$\frac{\frac{x}{4}}{\frac{x}{4}+\frac{1-x}{2}}=\frac{40}{100} \Rightarrow \frac{x}{2-x}=\frac{2}{5} \Rightarrow x=\frac{4}{7}$。#

SOL：

因為$\sin {\alpha}+\cos {\alpha}=0 \Rightarrow \frac{\sin{\alpha}}{\cos {\alpha}}=-1 \Rightarrow \tan {\alpha}=-1$

故斜率$m=\frac{-a}{b}=-1 \Rightarrow a-b=0$。#

SOL：

選項(2)相較其它選項，對平均數來說數據最為分散，故本題選(2)。#

 

SOL：

每小時剩下原本的$80\%$，故$n$小時後，$1.6\cdot 0.8^n<0.15 \Rightarrow 0.8^n<\frac{0.15}{1.6}=0.09375$，因為$0.8^{10}=0.1074、0.8^{11}=0.0859$，故需$11$小時才能開車。#

SOL：

$3$支香菸與$3$個口香糖，任意排列有$\frac{6!}{3!\cdot 3!}=20$，而口香糖吃完還有$2$支香菸，代表後面$3$個位置排列為口香糖、香菸、香菸，而前$3$個位置分別為香菸、口香糖、口香糖的任意排列，共有$3$種。

所以當口香糖吃完時剩$2$支香菸的機率為$\frac{3}{20}$。#

SOL：

因為直線$kx-y-2-k=0必通過定點A(1,-2)$，所以$\overline{MA} \perp \overline{MP}$，故$M$點落在以點$P、A$為直徑的圓上，所以此圓的圓心為$C(-1,0)$、半徑為$\frac{\overline{AP}}{2}=2\sqrt{2}$，因此$\overline{MQ}$的最小值為$Q$點到此圓的最短距離，即為$\overline{QO}-2\sqrt{2}=5-2\sqrt{2}$。#

SOL：

第一種情況，有選到$D$分給其中一人有$C^5_1=5$

再選兩種口罩分給剩下$4$人：$c^3_2 \cdot (2^4-2)=3 \cdot 14=42$

所以一共有$5\cdot42=210$種

第二種情況，未選到$D$，即是將三種口罩分給$5$人。

任意分配-只分出一種-只分出兩種： $$3^5-3-C^3_2(2^5-2)=150$$

故一共有$210+150=360$種。#

SOL：

O(1)$x=0$代入，得$y=-1$。

X(2)對稱中心的$x$坐標為$x=\frac{-b}{3a}=\frac{6}{6}=-1$，$y=f(x)=-4$，所以對稱中心為$(-1,-4)$

O(3)由連續綜合除法，對$x=-1$展開成$y=2(x+1)^3+(x+1)-4$，所以$(x+1)$的一次方項的係數為$1>0$，所以圖形與$x$軸只有一個交點。

O(4)由連續綜合除法，對$x=-2$展開成$y=2(x+2)^3-6(x+2)^2+7(x+2)-7$，所以在$x=-2$附近的一次近似為$y=7(x+2)-7=7x+7$。

O(5)$f(-1.99)=2(0.01)^3-6(0.01)^2+7(0.01)-7 \approx 7(0.01)-7=-6.93$。

SOL：

將圓$C$方程式配方，$(x^2+6x+9)+(y^2+8y+16)=25\Rightarrow(x+3)^2+(y+4)^2=5^2$，故圓心、半徑分別為$O(-3,-4)、r=5$

X(1)半徑等於$5$

X(2)圓的對稱直線必通圓心，$x-y+1=-3+4+1=2\neq0$

O(3)圓心到直線的距離為 $$d=\frac{|-3+4+3|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$ 所以所截弦長為$2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$

O(4)圓心到點$(-5,-2)$的向量等於$(-3,-4)-(-5,-2)=(2,-2)/(1,-1)$，(1,-1)為直線$x-y+3=0$的法向量。

圓心與點$(-5,-2)$的中點等於$(-4-1)$落在直線$x-y+3=0$上，故圓心與點$(-5,-2)$對稱於直線。

O(5)令點$A(3,4)$，則$\sqrt{(a-3)^+(b-4^2)}=\overline{PA}$，所以$\min \overline{PA}=\overline{OA}-r=10-5=5$

SOL：

令$y=f(x)=ax^2+bx+c$，如右圖

O(1)$c=f(0)<0$

O(2)因為頂點坐標為$(-2,-9a)$，所以$f(x)=a(x+2)^2-9a=ax^2+4ax-5a$，故$b=4a、c=-5a$且圖形開口向上，故$a>0$。

因此，$f(2)=4a+2b+c=7a>0$

X(3)圖形與$x$軸有兩個點交點，所以判別式$b^2-4ac>0$

O(4)因為不等式$a(x+5)(x-1)<0$的解為$5<x<1$，因為$\alpha與\beta$代入$a(x+5)(x-1)=-1<0$，故$-5<\alpha<\beta<1$ 

O(5)因為方程式的解會對稱於頂點的$x$坐標，所以$2$個解的和為$-2\cdot2=-4$

 

SOL：

因為$2\approx10^{0.301}、3\approx10^{0.4771}、4\approx10^{0.602}$

X(1)$b=3^{64}=10^{64\log3}\approx 10^{64\cdot 0.4771}=10^{30.5344}=10^{0.5344}\cdot10^{30}$，所以為$31$位數，最高位數為$3$

X(2)$a=2^{101}=10^{101\log2}\approx 10^{101\cdot0.301}=10^{30.401}=10^{0.401}\cdot10^{30}$，所以為$31$位數，最高位數為$2$

O(3)因為$a<3\cdot10^{30}、b<4\cdot10^{30}$，故$a+b<7\cdot 10^{30}$，所以為$$31$位數

O(4)因為$2^n$的個位數字分別為$2、4、8、6$四個一循環，因為$101\div4=25\cdots1$所以$2^{101}$的個位數為$2$，

同理$3^n$的個位數字分別為$3、9、7、1$四個一循環，因為$64\div4=16\cdots0$所以$3^{64}$的個位數為$1$，因此個位數相加等於$2+1=3$

O(5)個位數字相乘等於$2\cdot1=1$

SOL：

如圖，令$\overline{CD}=x$，$\overline{CB}=2x$

X(1)$\sin \angle CDB =\sqrt{1-\cos^2 \angle CDB}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

O(2)$\overline{CB}^2=\overline{CD}^2+\overline{DB}^2-2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{DB}\cdot \cos \angle CDB$，故$4x^2=3^2+x^2-6x(-\frac{\sqrt{5}}{5}) \Rightarrow x=\overline{CD}=\sqrt{5}$

故$\triangle ABC=\triangle CDB +\triangle CDA=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=8$

O(3)$\cos \angle CDA=-\cos \angle CDB=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\overline{AC}^2=\overline{CD}^2+\overline{DA}^2-2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{DA}\cdot \cos \angle CDA=5+25-10=20$，故$\overline{AC}=2\sqrt{5}$，故周長等於$2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+8=8+4\sqrt{5}$

O(4)因為$\overline{AC}=\overline{CB}=2\sqrt{5}$

O(5)$\cos C=\frac{(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2-8^2}{2\cdot2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}}<0$，故$\angle C$鈍角。

SOL：

O(1)因為數列遞增，所以$d>0$。

O(2)$a_7=3a_5\Rightarrow a_1+6d=3a_1+12d \Rightarrow a_1=-3d<0$。

X(3)$S_1=-3d，S_2=-5d，S_3=-6d，S_4=-6d，S_5=-5d$，故最小值發生在$n=3或n=4$。

O(4)$a_1=-3d，a_2=-2d，a_3=-d，a_4=0，a_5=d$，$a_n$為負數為$n=1、2、3$三項。

O(5)$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n((n-7)d)}{2}>0$，則$n\geq 8$。

 

SOL：

$t=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}=3.\cdots$，所以$a=2+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-1$，同理$-t=-3.\cdots$，故$b=-2-\sqrt{3}-(-4)=2-\sqrt{3}$

$\frac{1}{2b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{4-2\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$。#

SOL：

因為$\overline{x}=\frac{0+1+4+5+6+8}{6}=4$，故$\overline{y}=1.03\overline{x}+1.13=4.12+1.13=5.25$。因此，所求為$5.25\cdot6-(1.3+1.8+5.6+7.4+9.3)=6.1$。#

SOL：

觀察數列的前幾項：$1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，\cdots$，除以$4$的餘數分別為$1、1、2、3、1、0、1、1、2、3、1、0、1\cdots$，所以每$6$項會循環一次。

故$2024\div6=337\cdots 2$，故$b_{2024}=b_2=1$。#

SOL：

因為$|\pm1|=1$，所以$1\leq|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\leq3$，考慮分成絕對值後一個$1$四個$0$、二個$1$三個$0$、三個$1$二個$0$，共三種情況排列，其中$|x_i|=1$有$\pm1$兩個選擇。

因此，共有$\frac{5!}{4!\cdot1!}\cdot2^1+\frac{5!}{3!\cdot2!}\cdot2^2+\frac{5!}{2!\cdot3!}\cdot2^3=130$。#

SOL：

因為二次函數的圖形沒有通過第三象限，所以圖形開口向上，故$a>0$，所以$a=1、a=2$

因為通過一、二、四象限，所以圖形與$x$軸有兩交點，故判別式大於$0$，即$b^2-4a\cdot1>0$

當$a=1$時，滿足不等式的$b=-4$；當$a=2$時，滿足不等式的$b=-4$，共有兩組$(a,b)$。

因此，機率為$\frac{2}{4\cdot3}=\frac{1}{6}$。#

19.SOL：

如下圖，設經過時間$t$，甲攔截到乙，則$\overline{AC}=14t，\overline{BC}=10t$

因為$\overline{AC}^2=\overline{BA}^2+\overline{BC}^2-2\overline{BA}\cdot \overline{BC}\cos \angle{ABC} \Rightarrow (14t)^2=12^2+(10t)^2-2\cdot12\cdot10t\cos120^{\circ}$

可解得$t=2$或$t=\frac-{3}{4}$(不合)

(1)$\overline{AC}=14t=28<30$。

(2)$\overline{BC}=10t=20<25$。

(3)$\cos \alpha =\frac{12^2+28^2-20^2}{2\cdot12\cdot28}=\frac{11}{14}$。

(4)因為$\cos \alpha=\frac{11}{14}<\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ}$，故$\alpha>30^{\circ}$。

(5)$t=2$。

20.SOL：

$\cos \alpha=\frac{11}{14} \Rightarrow \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$。

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