112學年度全國公私立模考（高二用）數學試題詳解

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SOL：

答案：(5)
因為 $100A-A=ab.\overline{ab}-0.\overline{ab}=ab\Rightarrow A=\frac{ab}{99}$ ，同理 $1000B-B=aba.\overline{aba}-0.\overline{aba}=\frac{aba}{999}$
$A-B=\frac{999\cdot(10a+b)-99\cdot(100a+10b+a)}{99\cdot999}=\frac{b-a}{11\cdot999}$ ，故 $b-a$ 最小值為 $1$ ，因此 $(a,b)=(0,1),(1,2)\cdots(8,9)$ 共九組。#

SOL：

答案：(4)
因為 $L_1,L_2,L_3$ 所圍區域為正三角形，頂點角平分線會垂直對應邊，所以 $L_1$ 的斜率為 $\frac{2}{3}$ ，由點斜式 $L_1$ 的直線方程式為 $y-\frac{7}{2}=\frac{2}{3}(x+1)\Rightarrow 4x-6y=-25$ 。#

SOL：

答案：(4)

因為 $\overline{OB}=1$ ，則 $\overline{OP}=\frac{1}{\cos \theta}$ ，則 $\overline{PB}=\tan{\theta}$ 。
因為 $\overline{PA}$ 是角平分線，故 $\overline{OP}:\overline{PB}=\overline{OA}:\overline{AB}$ ，則 $\overline{OA}=(\frac{\overline{OP}}{\overline{OP}+\overline{PB}})\cdot\overline{OB}=\frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}+\tan{\theta}}=\frac{1}{1+\sin\theta}$ 。#

SOL：

答案：(3)
$n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+9)=10n+1+2+\cdots+9=10n+45$ ，此數的個位數字為 $5$ ，故本題答案為(3)。#

SOL：

答案：(1)
(1) $n(抽出黑桃)=13$ ，所以機率為 $\frac{1}{13}$ 。
(2) $n(抽出數字)=9\cdot4=36$ ，所以機率為 $\frac{1}{36}$ 。
(3) $n(抽出奇數)=n(3、5、7、9)=4\cdot4=16$ ，所以機率為 $\frac{1}{16}$ 。
(4) $n(抽出偶數)=n(2、4、6、8、10)=5\cdot4=20$ ，所以機率為 $\frac{1}{20}$ 。
(5) $n(抽出質數)=n(2、3、5、7)=4\cdot4=16$ ，所以機率為 $\frac{1}{16}$ 。

SOL：

答案：(4)
$2022$ 年台灣共有 $5000000\cdot30000=15\cdot10^{10}=10^{0.4771+0.699+10}=10^{11.1761}$ 粒小麥。
放到第 $n$ 格，所需的小麥數量為 $1+2+2^2+\cdot+2^(n-1)=2^n-1\approx 10^{0.301n}$ 。
當 $10^{11.1761}>10^{0.301n}\Rightarrow 11.1761>0.301n\Rightarrow n<\frac{11.1761}{0.301}\approx 37.1299$ ，故 $n$ 的最大值為 $37$ 。#

SOL：

答案：(1)(3)(4)(5)

(1)不等式的解為

$-4\leq x\leq 4$ ，故範圍的長度為

$8$ 。

(2)

$3x\geq |x-4|\geq 0$ ，故

$x\geq 0$ 。

當 $x\geq4$ ，則 $x-4\leq 3x$ ，解得 $x\geq -2$ 。
當 $x<4$ ，則 $-x+4\leq 3x$ ，解得 $x\geq 1$ 。
所以此不等式的解為 $x\geq 1$ 。

(3)當

$x<4$ ，

$|x-4|+|x-6|\leq8\Rightarrow 4-x+6-x\leq8$ ，可解得

$4>x\geq 1$ 。

當 $6\leq x$ ， $|x-4|+|x-6|\leq8\Rightarrow x-4+x-6\leq8\Rightarrow x\leq9$ ，可解得 $9\geq x\geq 6$ 。
因此不等式的解為 $9\geq x\geq 1$ ，故範圍的長度為 $8$ 。

(4)當

$x<4$ ，

$|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow 4-x+12-x=8\Rightarrow x=4$ ，

$4>x$ 且

$x=4$ 的

$x$ 無解。

當 $4\leq x\leq12$ ， $|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow x-4+12-x=8$ ，可解得 $4\leq x\leq12$ 。
當 $12< x$ ， $|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow x-4+x-12=8\Rightarrow x=12$ ，可解得 $x>12$ 且 $x=12$ 的 $x$ 無解。

因此 $|x-4|+|x-12|=8$ 的解為 $4\leq x\leq12$ ，故範圍的長度為 $8$ 。

(5)當

$x<4$ ，

$||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq 4-x-16+x\leq8\Rightarrow -8\leq -12\leq8$ ，矛盾。

當 $4\leq x<16$ ， $||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq x-4-16+x\leq8\Rightarrow 6\leq x\leq 14$ ，可解得 $6\leq x\leq 14$ 。
當 $16\leq x$ ， $||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq x-4-x+16\leq8\Rightarrow -8\leq 12\leq8$ ，矛盾。

因此不等式的解為

$6\leq x\leq 14$ ，故範圍的長度為

$8$ 。

SOL：

答案：(3)(4)
註：選項(2)官方詳解解釋為沒有逐年上升，所以選項是錯誤的。但該選項用的逐年上升的「趨勢」，並沒有要求逐年都上升。
(1)此表沒有最低年薪的數據。
(2)此選項有問題。
(3)該年中位數為 $50.6$ 小於平均數的 $67$ ，所以有超過一半的人未達平均。
(4)從圖表上看起來年平均愈高中位數也有愈高的趨勢，故為正相關。
(5)從平均無法得知極端數據，故無法確定全距也是逐年上升。

SOL：

答案：(1)(5)
令 $f(x)=2(x-h)^3+p(x-h)+k$ ，則 $h=-\frac{-6}{3\cdot2}=1$ ，展開後 $f(x)=2x^3-6x^2+(6+p)x-2-p+k=2x^3-6x^2+10x-1$ ，故 $6+p=10\Rightarrow p=4$ 且 $-2-p+k=-1\Rightarrow k=5$ 。
(1)將 $f(x)$ 三次配方，配得 $f(x)=2(x-1)^3+4(x-1)+5$ ，故對稱中心為 $(1,5)$ 。
(2) $(0,-1)$ 在該圖形上，但因為 $f(2)=11\neq 9$ ，所以 $(2,9)$ 不在圖形上。
(3)因為圖形在 $x=1$ 附近近似於直線 $y=4(x-1)+5$ ，斜率為 $4$ 。
(4)因為 $f(x)=2(x-1)^3+4(x-1)+5$ ，平移後會與 $y=2x^3+4x$ 重合。
(5)將圖形左移一單位，則可與 $y=2x^3+4x+5$ 重合。

SOL：

答案：(1)(2)(3)(5)
(1) $S_1=a_1=1-2=-1$ 。
(2) $a_2=S_2-S_1=4-4-(1-2)=1$ 。
(3) $a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-2n-((n-1)^2-2(n-1))=2n-3$ ，驗算 $a_1=-1$ 亦滿足 $2n-3$ ，故 $<a_n>$ 為等差數列，公差為 $2$ 。
(4)如上所述 $a_n=2n-3$ 。
(5) $a_3=3$ ， $S_3=9-6=3$ ，故 $a_3=S_3$ 。

SOL：

答案：(2)(4)(5)
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}-1\approx -0.423<0$ ，故 $a=10^{\frac{\sqrt{3}}{3}-1}<10^0=1$ 。
(2) $a<1\Rightarrow a^{-1}>1$ ，故 $b=a^{-\sqrt{3}}>1$ 。
(3) $b^{\sqrt{2}}=a^{-\sqrt{6}}$ ，因為 $a<1$ ，則次方愈大，以 $a$ 為底的指數愈小， $-2>-\sqrt{6}$ ，故 $a^{-2}<b^{\sqrt{2}}$ 。
(4) $b=a^{-\sqrt{3}}=10^{\sqrt{3}-1}\approx 10^{0.732}$ ，故 $10^{0.7}<b<10^{0.8}$ 。
(5) $(ab)^{\sqrt{3}}=(a^{1-\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}-3}=10^{4-2\sqrt{3}}\approx 10^{0.49}<10$ 。

SOL：

答案：(1)(4)(5)
(1)只有數學均標有 $12-p_1\geq0$ ，故 $0\leq p_1\leq12$ 。
(2)兩科均未均標的人數為 $6 \leq 36-p_2\leq 18\Rightarrow 18\leq p_2 \leq 30$ ，故選項錯誤。
(3)兩科均未均標的人數為 $6 \leq 24-p_3\leq 18\Rightarrow 6\leq p_3 \leq 18$ ，故選項錯誤。
(4)兩科均未均標的人數為 $6 \leq 18-p_4\leq 18\Rightarrow 0\leq p_4 \leq 12$ 。
(5) $p_5=p_2+p_3$ ，故最小值為 $6$ ，最大值為 $30$ 。

SOL：

註：本題僅考慮選取廚師中佮

$3$ 人能制作中式或西式料理，不考慮兼具的廚師分配到制作中式還是西式。

答案： $74$
令甲組為中式 $4$ 人，乙組西式 $2$ 人，丙組兼具 $3$ 人。
(1)丙組選 $1$ 人，則(甲、乙)組的人數需選出 $(3,2)$ ，
故 $C^3_1\cdot(C^4_3C^2_2)=12$ 種。
(2)丙組選 $2$ 人，則(甲、乙)組的人數需選出 $(3,1)或(2,2)$ ，
故 $C^3_2\cdot(C^4_3C^2_1+C^4_2C^2_2)=42$ 種。
(2)丙組選 $3$ 人，則(甲、乙)組的人數需選出 $(3,0)或(2,1)或(1,2)$ ，
故 $C^3_3\cdot(C^4_3C^2_0+C^4_2C^2_1+C^4_1C^2_2)=20$ 種。
由 $(1)、(2)、(3)$ ，分類討論後，共 $12+42+20=74$ 種。#

SOL：

答案： $n=24$
$\sqrt{n}=a+b\Rightarrow b=\sqrt{n}-a$ ，代入方程式， $a^3-18ab+b^3=a^3-18a(\sqrt{n}-a)+(\sqrt{n}-a)=0$ ，整理可得，
$a^3-18a\sqrt{n}+18a^2+n\sqrt{n}-3an+3a^2\sqrt{n}-a^3=0\Rightarrow (18a^2-3an)+(3a^2+n-18a)\sqrt{n}$ 。
因為 $\sqrt{n}$ 是無理數，所以
$\cases{18a^2-3an=0\cdots(1) \\ 3a^2+n-18a=0\cdots(2)}$
由 $(1)$ ，可解得 $a=0或n=6a$ ，因為 $a=0$ 亦解出 $n=0$ ，故此情況不合。
所以 $n=6a$ ，代入方程式 $(2)$ ，可算得 $3a^2+6a-18a=0$ ，可解出 $a=4$ ，故 $n=6a=24$ 。#

SOL：

答案：

$a+b=9$

SOL：

答案： $\frac{1}{5}$
令外接圓半徑 $R=10$ ，內切圓半徑 $r=4$
如上圖所示， $\triangle DEF =\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-A)+\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-B)+\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-C)=\frac{1}{2}r^2(\sin A+\sin B+\sin C)$ 。
因於正弦定理， $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ ，故 $\sin A=\frac{a}{2R}，\sin B=\frac{b}{2R}，\sin C=\frac{b}{2R}$
代入 $\triangle DEF=\frac{1}{2}r^2(\sin A+\sin B+\sin C)=\frac{1}{2R}r^2(\frac{a+b+c}{2})=\frac{1}{2R}r\triangle ABC$ ，故
$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{1}{5}$ 。#