112學年度全國公私立模考（高二用）數學試題詳解

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SOL：

答案：(5)
因為$100A-A=ab.\overline{ab}-0.\overline{ab}=ab\Rightarrow A=\frac{ab}{99}$，同理$1000B-B=aba.\overline{aba}-0.\overline{aba}=\frac{aba}{999}$
$A-B=\frac{999\cdot(10a+b)-99\cdot(100a+10b+a)}{99\cdot999}=\frac{b-a}{11\cdot999}$，故$b-a$最小值為$1$，因此$(a,b)=(0,1),(1,2)\cdots(8,9)$共九組。#

SOL：

答案：(4)
因為$L_1,L_2,L_3$所圍區域為正三角形，頂點角平分線會垂直對應邊，所以$L_1$的斜率為$\frac{2}{3}$，由點斜式$L_1$的直線方程式為$y-\frac{7}{2}=\frac{2}{3}(x+1)\Rightarrow 4x-6y=-25$。#

SOL：

答案：(4)

因為$\overline{OB}=1$，則$\overline{OP}=\frac{1}{\cos \theta}$，則$\overline{PB}=\tan{\theta}$。
因為$\overline{PA}$是角平分線，故$\overline{OP}:\overline{PB}=\overline{OA}:\overline{AB}$，則$\overline{OA}=(\frac{\overline{OP}}{\overline{OP}+\overline{PB}})\cdot\overline{OB}=\frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}+\tan{\theta}}=\frac{1}{1+\sin\theta}$。#

SOL：

答案：(3)
$n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+9)=10n+1+2+\cdots+9=10n+45$，此數的個位數字為$5$，故本題答案為(3)。#

SOL：

答案：(1)
(1)$n(抽出黑桃)=13$，所以機率為$\frac{1}{13}$。
(2)$n(抽出數字)=9\cdot4=36$，所以機率為$\frac{1}{36}$。
(3)$n(抽出奇數)=n(3、5、7、9)=4\cdot4=16$，所以機率為$\frac{1}{16}$。
(4)$n(抽出偶數)=n(2、4、6、8、10)=5\cdot4=20$，所以機率為$\frac{1}{20}$。
(5)$n(抽出質數)=n(2、3、5、7)=4\cdot4=16$，所以機率為$\frac{1}{16}$。

SOL：

答案：(4)
$2022$年台灣共有$5000000\cdot30000=15\cdot10^{10}=10^{0.4771+0.699+10}=10^{11.1761}$粒小麥。
放到第$n$格，所需的小麥數量為$1+2+2^2+\cdot+2^(n-1)=2^n-1\approx 10^{0.301n}$。
當$10^{11.1761}>10^{0.301n}\Rightarrow 11.1761>0.301n\Rightarrow n<\frac{11.1761}{0.301}\approx 37.1299$，故$n$的最大值為$37$。#

SOL：

答案：(1)(3)(4)(5)

(1)不等式的解為$-4\leq x\leq 4$，故範圍的長度為$8$。

(2)$3x\geq |x-4|\geq 0$，故$x\geq 0$。

當$x\geq4$，則$x-4\leq 3x$，解得$x\geq -2$。
當$x<4$，則$-x+4\leq 3x$，解得$x\geq 1$。
所以此不等式的解為$x\geq 1$。

(3)當$x<4$，$|x-4|+|x-6|\leq8\Rightarrow 4-x+6-x\leq8$，可解得$4>x\geq 1$。

當$4\leq x<6$，$|x-4|+|x-6|\leq8\Rightarrow x-4+6-x\leq8\Rightarrow 2\leq8$，可解得$6>x\geq 4$。
當$6\leq x$，$|x-4|+|x-6|\leq8\Rightarrow x-4+x-6\leq8\Rightarrow x\leq9$，可解得$9\geq x\geq 6$。
因此不等式的解為$9\geq x\geq 1$，故範圍的長度為$8$。

(4)當$x<4$，$|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow 4-x+12-x=8\Rightarrow x=4$，$4>x$且$x=4$的$x$無解。

當$4\leq x\leq12$，$|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow x-4+12-x=8$，可解得$4\leq x\leq12$。
當$12< x$，$|x-4|+|x-12|=8\Rightarrow x-4+x-12=8\Rightarrow x=12$，可解得$x>12$且$x=12$的$x$無解。

因此$|x-4|+|x-12|=8$的解為$4\leq x\leq12$，故範圍的長度為$8$。

(5)當$x<4$，$||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq 4-x-16+x\leq8\Rightarrow -8\leq -12\leq8$，矛盾。

當$4\leq x<16$，$||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq x-4-16+x\leq8\Rightarrow 6\leq x\leq 14$，可解得$6\leq x\leq 14$。
當$16\leq x$，$||x-4|-|x-16||\leq8\Rightarrow -8\leq x-4-x+16\leq8\Rightarrow -8\leq 12\leq8$，矛盾。

因此不等式的解為$6\leq x\leq 14$，故範圍的長度為$8$。

SOL：

答案：(3)(4)
註：選項(2)官方詳解解釋為沒有逐年上升，所以選項是錯誤的。但該選項用的逐年上升的「趨勢」，並沒有要求逐年都上升。
(1)此表沒有最低年薪的數據。
(2)此選項有問題。
(3)該年中位數為$50.6$小於平均數的$67$，所以有超過一半的人未達平均。
(4)從圖表上看起來年平均愈高中位數也有愈高的趨勢，故為正相關。
(5)從平均無法得知極端數據，故無法確定全距也是逐年上升。

SOL：

答案：(1)(5)
令$f(x)=2(x-h)^3+p(x-h)+k$，則$h=-\frac{-6}{3\cdot2}=1$，展開後$f(x)=2x^3-6x^2+(6+p)x-2-p+k=2x^3-6x^2+10x-1$，故$6+p=10\Rightarrow p=4$且$-2-p+k=-1\Rightarrow k=5$。
(1)將$f(x)$三次配方，配得$f(x)=2(x-1)^3+4(x-1)+5$，故對稱中心為$(1,5)$。
(2)$(0,-1)$在該圖形上，但因為$f(2)=11\neq 9$，所以$(2,9)$不在圖形上。
(3)因為圖形在$x=1$附近近似於直線$y=4(x-1)+5$，斜率為$4$。
(4)因為$f(x)=2(x-1)^3+4(x-1)+5$，平移後會與$y=2x^3+4x$重合。
(5)將圖形左移一單位，則可與$y=2x^3+4x+5$重合。

SOL：

答案：(1)(2)(3)(5)
(1)$S_1=a_1=1-2=-1$。
(2)$a_2=S_2-S_1=4-4-(1-2)=1$。
(3)$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-2n-((n-1)^2-2(n-1))=2n-3$，驗算$a_1=-1$亦滿足$2n-3$，故$<a_n>$為等差數列，公差為$2$。
(4)如上所述$a_n=2n-3$。
(5)$a_3=3$，$S_3=9-6=3$，故$a_3=S_3$。

SOL：

答案：(2)(4)(5)
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}-1\approx -0.423<0$，故$a=10^{\frac{\sqrt{3}}{3}-1}<10^0=1$。
(2)$a<1\Rightarrow a^{-1}>1$，故$b=a^{-\sqrt{3}}>1$。
(3)$b^{\sqrt{2}}=a^{-\sqrt{6}}$，因為$a<1$，則次方愈大，以$a$為底的指數愈小，$-2>-\sqrt{6}$，故$a^{-2}<b^{\sqrt{2}}$。
(4)$b=a^{-\sqrt{3}}=10^{\sqrt{3}-1}\approx 10^{0.732}$，故$10^{0.7}<b<10^{0.8}$。
(5)$(ab)^{\sqrt{3}}=(a^{1-\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}-3}=10^{4-2\sqrt{3}}\approx 10^{0.49}<10$。

SOL：

答案：(1)(4)(5)
(1)只有數學均標有$12-p_1\geq0$，故$0\leq p_1\leq12$。
(2)兩科均未均標的人數為$6 \leq 36-p_2\leq 18\Rightarrow 18\leq p_2 \leq 30$，故選項錯誤。
(3)兩科均未均標的人數為$6 \leq 24-p_3\leq 18\Rightarrow 6\leq p_3 \leq 18$，故選項錯誤。
(4)兩科均未均標的人數為$6 \leq 18-p_4\leq 18\Rightarrow 0\leq p_4 \leq 12$。
(5)$p_5=p_2+p_3$，故最小值為$6$，最大值為$30$。

SOL：

註：本題僅考慮選取廚師中佮$3$人能制作中式或西式料理，不考慮兼具的廚師分配到制作中式還是西式。

答案：$74$
令甲組為中式$4$人，乙組西式$2$人，丙組兼具$3$人。
(1)丙組選$1$人，則(甲、乙)組的人數需選出$(3,2)$，
故$C^3_1\cdot(C^4_3C^2_2)=12$種。
(2)丙組選$2$人，則(甲、乙)組的人數需選出$(3,1)或(2,2)$，
故$C^3_2\cdot(C^4_3C^2_1+C^4_2C^2_2)=42$種。
(2)丙組選$3$人，則(甲、乙)組的人數需選出$(3,0)或(2,1)或(1,2)$，
故$C^3_3\cdot(C^4_3C^2_0+C^4_2C^2_1+C^4_1C^2_2)=20$種。
由$(1)、(2)、(3)$，分類討論後，共$12+42+20=74$種。#

SOL：

答案：$n=24$
$\sqrt{n}=a+b\Rightarrow b=\sqrt{n}-a$，代入方程式，$a^3-18ab+b^3=a^3-18a(\sqrt{n}-a)+(\sqrt{n}-a)=0$，整理可得，
$a^3-18a\sqrt{n}+18a^2+n\sqrt{n}-3an+3a^2\sqrt{n}-a^3=0\Rightarrow (18a^2-3an)+(3a^2+n-18a)\sqrt{n}$。
因為$\sqrt{n}$是無理數，所以
$$\cases{18a^2-3an=0\cdots(1) \\ 3a^2+n-18a=0\cdots(2)}$$
由$(1)$，可解得$a=0或n=6a$，因為$a=0$亦解出$n=0$，故此情況不合。
所以$n=6a$，代入方程式$(2)$，可算得$3a^2+6a-18a=0$，可解出$a=4$，故$n=6a=24$。#

SOL：

答案：$a+b=9$

SOL：

答案：$\frac{1}{5}$
令外接圓半徑$R=10$，內切圓半徑$r=4$
如上圖所示，$\triangle DEF =\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-A)+\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-B)+\frac{1}{2}r^2\sin(\pi-C)=\frac{1}{2}r^2(\sin A+\sin B+\sin C)$。
因於正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，故$$\sin A=\frac{a}{2R}，\sin B=\frac{b}{2R}，\sin C=\frac{b}{2R} $$
代入$\triangle DEF=\frac{1}{2}r^2(\sin A+\sin B+\sin C)=\frac{1}{2R}r^2(\frac{a+b+c}{2})=\frac{1}{2R}r\triangle ABC$，故
$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{1}{5}$。#