國立陽明交大附中 115 學年度第 1 次教師甄選
數學科試題卷（含解答）
一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）
1. 有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。
2. $\sqrt{(60+10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}-(60-10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}} = $ ________。
3. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。
4. 坐標空間中，設 $A, B$ 兩點在某直線 $L$ 上的投影點分別為 $C, D$，已知 $AC=BD=4$，且 $\overline{AC}, \overline{BD}$ 兩直線的方程式分別為 $\overline{AC}:\frac{x-2}{2}=y-7=\frac{z+3}{2}, \overline{BD}:\frac{x-5}{2}=\frac{4-y}{2}=6-z$，則 $\overline{AB}$ 長度為 ________。
5. 若方程式 $\log_{2}|3x^{3}-18x+4\sqrt{2}|=k$ 恰有五個實根，則 $k = $ ________。
6. 已知三次函數 $f(x)=x(x-2)(x-4)$，則 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f(2+\frac{2i}{n})\right) = $ ________。
7. 在空間中，直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$ 分別與平面 $E_{1}:x+y+z=3$ 和 $E_{2}:x-y+2z=5$ 交於 $A, B$ 兩點，設動點 $P$ 在 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 的交線上，則三角形 $\Delta PAB$ 面積的最小值為 ________。
8. 在坐標平面上，$O$ 為原點，圓 $O:x^{2}+y^{2}=4$ 有一弦 $\overline{AB}$ 在直線 $x=1$ 上，設動點 $P$ 在弦 $\overline{AB}$ 上，以 $OP$ 為弦心距的弦為 $\overline{MN}$，所有可能的 $\overline{MN}$ 所形成的區域面積為 ________。
9. 設 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 為複數，且 $\omega_{1}=\frac{1}{3}z_{1}+\frac{2}{3}z_{2}, \omega_{2}=\frac{3}{4}z_{1}+\frac{1}{4}z_{2}$，已知 $|z_{1}-z_{2}|=1+\sqrt{3}$，則 $|\omega_{1}-\omega_{2}| = $ ________。
10. 多項式 $f(x)$ 滿足 $xf(x-1)=(x-5)f(x)$ 且 $f(6)=1$，則 $f(\frac{5}{2}) = $ ________。
11. 在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=4, \overline{AC}=5, \angle A=2\theta, \theta$ 以弧度計。若 $\Delta ABC$ 的外接圓半徑為 $R(\theta)$，則 $\lim_{\theta\rightarrow0}[R(\theta)\cdot\theta] = $ ________。
12. 學期成績以平常成績的 40% 加上段考成績的 60% 計算，已知某班同學平常成績的標準差為 20 分，段考成績的標準差為 15 分，學期成績的標準差為 13 分，則平常成績與段考成績的相關係數為 ________。
13. 在某瀕危石虎的復育計畫中，研究員將石虎的活動範圍簡化為一條線性的棲地路徑，由左至右劃分為編號 0, 1, 2, 3, 4, 5 的六個區塊。已知當石虎進入編號 5 的區塊（核心保護區）後，將獲得永久安全不再移動；若進入編號 0 的區塊（開發密集區），則會因環境威脅而消失。若該石虎每日向右移動一個區塊（編號增加 1）的機率為 0.6，向左移動一個區塊（編號減少 1）的機率為 0.4，且該石虎目前位於編號 2 的區塊，則它最終成功到達編號 5 區塊（核心保護區）的機率為 ________。
二、 計算證明題（共 22 分）
1. (7分) 在空間坐標系中，直圓錐底面落在 $xy$ 平面上，底面圓方程式為 $x^{2}+y^{2}\le4$，頂點為 $V(0,0,6)$。設平面 $E_{h}:z=h$ 與之相截之截痕為圓 $C_{h}$。若 $R_{h}$ 為 $C_{h}$ 之內接矩形，則以 $R_{h}$ 為底面、原點 $O$ 為頂點之四角錐體積的最大值為何？
2. (8分) 設 $f(x)=123x^{2}+234x-345$，三次多項式 $g(x)$ 的首項係數為 1，圖形通過點 $(114,f(114)), (115,f(115)), (116,f(116))$。若 $g(x)$ 在 $x=115$ 附近的一次近似函數為 $h(x)$，則由 $x=114, x=116, y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 圖形所圍成的區域面積為何？
3. (7分) 若實係數三次多項式 $f(x)$ 有三個相異實根，證明：$[f'(x)]^2 \ge f(x)f''(x)$ 對於所有實數 $x$ 均成立。
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