113年 嘉科實中 教師甄試詳解

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考題討論直播：113/03/24(日) 8：00 直播頻道連結

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SOL：

答案：D 

$$\cases{x^2+\sqrt{3}y=4 \\ y^2+\sqrt{3}x=4}$$

兩式相減，算得$x+y=\sqrt{3}\Rightarrow x^2+2xy+y^2=3$。

兩式相加，算得$x^2+y^2+\sqrt{3}(x+y)=8\Rightarrow 3-2xy+3=8\Rightarrow xy=-1$

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2+x^2}{xy}=\frac{3+2}{-1}=-5$。#

SOL：

答案：A

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SOL：

答案：B

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SOL：

答案：B

解析：愈先被算平均，除以$2$的次數愈多，所以先從數字小的算平均。

$\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{\frac{3}{2}+3}{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}+4}{2}=\frac{25}{8}\Rightarrow \frac{\frac{25}{8}+5}{2}=\frac{65}{16}\Rightarrow \frac{\frac{65}{16}+6}{2}=\frac{161}{32}\Rightarrow \frac{\frac{161}{32}+7}{2}=\frac{385}{64}\Rightarrow \frac{\frac{385}{64}+8}{2}=\frac{897}{128}\Rightarrow \frac{\frac{897}{128}+9}{2}=\frac{2049}{256}$。# 

SOL：

答案：A

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SOL：

答案：$(1-,2)$

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SOL：

答案：$-\sqrt{2}$

$f(x)=2\cos^2x+\sin2x-2\sin2x\cos2x$$=\cos 2x+1 +\sin 2x -2\sin 2x \cos 2x -\sin^2 2x -\cos^2 2x +1$$=-(\sin2x+\cos2x)^2+(\sin2x+\cos2x) +2$

因為$-\sqrt{2}\leq \sin2x+\cos2x \leq \sqrt{2}$，則當$\sin2x+\cos2x=-\sqrt{2}$時，$f(x)$有最小值$-\sqrt{2}$。#

 

SOL：

答案：$9+\sqrt{141}$

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SOL：

答案：$\frac{1012}{2023}$

當擦去的數為奇數時，則甲每次僅刪去一個奇數，則最後剩下必為兩偶數，甲必勝。

當擦去的數為偶數時，則可將剩下的正整數，以兩連續正整數分為一組。

例如擦去$8$號，則分組為$(2,3)、(4,5)、(6,7)、(9,10)、(11,12)、\cdots、(2023,2024)$ ，此時甲刪去任何一數，乙就把同組的另一個數字刪除，則最後剩將會是某一組裡的兩個連續正整數。

因為$n、n+1$必互質，故乙必勝。

所以乙勝的機率等於初始擦去偶數的機率，$\frac{1023}{2023}$。#

SOL：

答案：無限多解

註：本題官方更正答案為無限多解 

取$n=11、11\cdots11$二十個$1$、$11\cdots11$二百個$1$、$11\cdots11$二千個$1$，依此類推。

則有無限多個$n$，使得$S(S(n))=2$。

SOL：

答案：$4320$

註：本題官方答案錯誤，正確答案為$4320$ 

利用取拾原理，任意選語言-選一個共同的其它任選+選兩個共同的其它任選-選三個共同的。

$(C^5_3)^4-C^5_1 (C^4_2)^4+C^5_2 (C^3_1)^4-C^5_3=10000-6480+810-10=4320$。#

SOL：

(1)當$n=1$，$a_1=\frac{1}{1}$，故$\alpha_1=\beta_1=1$均為奇數成立。

設當$n=k$時，$a_k=\frac{\alpha_k}{\beta_k}$，$\alpha_k、\beta_k$均為奇數。

當$n=k+1$時，$a_{k+1}=2+\frac{1}{a_k}=\frac{2\alpha_k+\beta_k}{\alpha_k}$，則$\alpha_{k+1}=2\alpha_k+\beta_k$為奇數，且$\beta_{k+1}=\alpha_k$亦為奇數。

由數學歸納法得證。#

 

(2) 

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