113年度 學測 數學A 試題詳解
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1月22日(一)20:00 直播講解113學測數A考題:歪歪數學YOUTUBE頻道
SOL:
每2小時減半一次,所以4小時會減半兩次,故剩下原本的14。
SOL:
如圖,坐標化後→AD=(0,1,1),→AG=(1,1,1),所以→AD×→AG=(0,1,1)×(1,1,1)=(0,1,−1)。因為→OE=(0,−1,1),所以→OE平行→AD×→AG。
sin(x+π6)=sinx+sinπ6⇒√32sinx+12cosx=sinx+12⇒(√3−22)sinx+12cosx=12⇒(√6−√22)sin(x+θ)=12,π<θ<3π2⇒sin(x+θ)=√6+√24因為√6+√24<1,所以有2個實數滿足該方程式。
SOL:
若甲組的中位數為a,則乙組的中位數為a+1,甲組中大於a的12個數字亦會大於a+1,而且乙組中大於a+1的12個數字亦會大於a,所以總共有24個數字大於a、a+1。同理,總共有24個數字小於a、a+1,故甲、乙兩組的中位數分別為25、26。因此,把大於26的數字取12個分給甲組,剩下分給乙組。再把小於25的數字取12個分組甲組,剩下分給乙組,所以有(C2412)2種分法。
因為△ABP為一底角為θ的等腰三角形,所以cosθ=718。由半角公式cos(θ2)=√1+cosx2=56。由餘弦定理,¯BQ2=¯AB2+¯AQ2−2¯ABׯAQcos(θ2)=72+92−2⋅7⋅9⋅56=25故¯BQ=5。
(1) y=logc+log5−12≠logx。(2) y=logx2的x可以為負數,但y=logx的不行。(3) 由對數律,3y=3logx⇒y=logx。(4) 左右取對數,得logx=log10y=y。(5) 左右取對數,得3logx=y3≠3y。
(1) n=2時,三邊長為2,3,4,則22+32−42=−3<0,所以T1為鈍角三角形。(2) 因為Tn三邊長為公差為1的等差數列,故相加後的周長為公差等於3的等差數列。(3) 代入面積公式可得Tn的面積為√(3n+32)(n+32)(n+12)(n−12),所以當n>1時,面積會隨著n而增加。(4) T5的三邊長分別為5,6,7,面積為√9⋅4⋅3⋅2=6√6,因此三高分別為12√65,12√66,12√67,明顯不是等差數列。(5) T3的三邊長為3,4,5,故最大角為90∘,而由(1),T2的最大角為鈍角,因此T2的比較大。
(1) ¯yA=2¯xA−0.6⇒¯yA=2⋅5.2−0.6=9.8,¯yB=1.5¯xB+0.4⇒¯yA=1.5⋅6+0.4=9.4,故¯yA>¯yB。(2) 因為迴歸直線的斜率為m=rσyσx,所以A物種的體重標準差為2⋅0.30.6=1,B物種的體重標準差為1.5⋅0.10.3=0.5,故A物種的體重標準差大於B物種的體重標準差。(3) 8.6−9.81=−1.2,所以相差了1.2個標準差。(4) 由點到直線的距離公式,d(P,LA)=|2⋅5.6−0.6−8.6|√5=2√5,d(P,LB)=|1.5⋅5.6+0.4−8.6|√3.25=25√13 故d(P,LA)>d(P,LB)。(5) 令A(xA,yA),B(xB,yB),由兩點距離公式,¯AP=√(5.6−5.2)2+(8.6−9.8)2=√0.42+1.22 ¯BP=√(5.6−6)2+(8.6−9.4)2=√0.42+0.82 故¯AP>¯BP
SOL:
如圖所示
(1) P(a=b)=P(a=1,b=1)+P(a=2,b=2)=16⋅12+16⋅12=frac16。(2) 考慮Δ=|a61b|=ab−6=0⇒(a,b)=(6,1)或(3,2)。但因為(a,b)=(6,1)時,聯立方程式為無限多組解,故無解的情況為(a,b)=(3,2),所以P(a=3,b=2)=112。(3) P(唯一解)=1−P(無限多組解)−P(無解)=1−112−112=56。(4) 硬幣反面且方程組有解的情況為(a,b)=(1,2)、(2,2)、(4,2)、(5,2)、(6,2),共5種情況,每種機率為112,故此選項的機率為512。(5) 硬幣反面且方程組有解之下,x值為正的情況為(a,b)=(4,2)、(5,2)、(6,2),共3種情況,由條件機率,選項的機率為35。
(1) 變換後三頂點的坐標分別為A′(3,0)、B′(1,0)、C′(−3,0),顯然為鈍角三角形。(2) 因為[30a1][10]=[10] [30a1][00]=[00] 故該選項正確。(3) 由(1),a=0時,圖形顯然不通過第四象限。(4) 因為detT=3≠0,所以線性變換T為可逆變換,所以有一口圖形Ω變換為△ABC。(5) Γ的面積=detT×△ABC=6⋅1=6,故面積是一個定值。
甲、乙、丙三型手機利潤平均為100A+400B+240CA+B+C=260⇒160A−140B+20C=0甲、乙的利潤平均為100A+400BA+B=280⇒180A−120B=0所以,{160A−140B=−20C180A−120B=0⇒A:B:C=2:3:5。
由除法原理可得,{f(x)=(x2−2x+3)Q1(x)+x+1g(x)=(x2−2x+3)Q2(x)+x−3h(x)=(x2−2x+3)Q3(x)−2⇒{xf(x)=(x2−2x+3)(xQ1(x))+x2+xag(x)=(x2−2x+3)(aQ2(x))+ax−3abh(x)=(x2−2x+3)(bQ3(x))−2b
故三式相加可以被x2−2x+3整除,則x2+x+ax−3a−2b也要被x2−2x+3整除,所以a=−3,b=3。
中獎機率,P=10n=0.4%⇒n=2500。
抽完前100位後,剩下n=2400,4個5000元、5個8000元,故期望值E=5000⋅4+8000⋅52400=600002400=25元
令|→v|=d,因為(2,−3)⊥(3,2),則(d−1)2+(d−2)2=d2⇒d=5或d=1(不合)。→v在(4,7)上的正射影長為 4√13×(2,−3)⋅(4,7)|(4,7)|+3√13×(3,2)⋅(4,7)|(4,7)|=−52+7813√5=2√55
向量→OQ與(1,0,0)的夾角等同於平面法向量(1,0,−1)與(1,0,0)的夾角,故cosα=(1,0,−1)⋅(1,0,0)|(1,0,−1)|×|(1,0,0)|=√22
cosθ=(a,b,c)⋅(1,0,0)√a2+b2+c2×1=a√a2+b2+c2≥cosπ6=√32⇒2a≥√3(a2+b2+c2)
兩邊平方
4a2≥3(a2+b2+c2)⇒a2≥3(b2+c2)
因為P(a,b,c)在平面E上,所以a−c=4。承上題,a2≥3(02+c2)⇒(c+4)2≥3c2⇒2c2−8c−16≤0⇒c2−4c−8≤0,故2−2√3≤c≤2+2√3因為¯OP=√a2+c2=√(c+4)2+c2=√2c2+8c+16,故該c的二次函數的頂點位於c=−82×2=−2,而且−2<2−2√3,所以¯OP的最小值發生在c=2−2√3時,此時¯OP=√(6−2√3)2+(2−2√3)2=4√4−2√3=4√3−4
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