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2024年1月8日 星期一

113年度 高中學測數學A 試題詳解

113年度 學測 數學A 試題詳解



講解影片:建設中

1月22日(一)20:00 直播講解113學測數A考題:歪歪數學YOUTUBE頻道


SOL:

2小時減半一次,所以4小時會減半兩次,故剩下原本的14

 

 SOL:

如圖,坐標化後AD=(0,1,1)AG=(1,1,1),所以AD×AG=(0,1,1)×(1,1,1)=(0,1,1)。因為OE=(0,1,1),所以OE平行AD×AG




SOL:

f(x)=a(x+7)(x+7a)(x+72a),則f(0)=7a(7a)(72a)>0a>70<a<72,故範圍內只有一個(a=2)



SOL:

sin(x+π6)=sinx+sinπ632sinx+12cosx=sinx+12
(322)sinx+12cosx=12
(622)sin(x+θ)=12π<θ<3π2
sin(x+θ)=6+24
因為6+24<1,所以有2個實數滿足該方程式。

 

SOL:

若甲組的中位數為a,則乙組的中位數為a+1,甲組中大於a12個數字亦會大於a+1,而且乙組中大於a+112個數字亦會大於a,所以總共有24個數字大於aa+1
同理,總共有24個數字小於aa+1,故甲、乙兩組的中位數分別為2526
因此,把大於26的數字取12個分給甲組,剩下分給乙組。再把小於25的數字取12個分組甲組,剩下分給乙組,所以有(C2412)2種分法。

 


SOL:

因為ABP為一底角為θ的等腰三角形,所以cosθ=718
由半角公式cos(θ2)=1+cosx2=56
由餘弦定理,¯BQ2=¯AB2+¯AQ22¯ABׯAQcos(θ2)=72+9227956=25
¯BQ=5

SOL:

(1)  y=logc+log512logx
(2)  y=logx2x可以為負數,但y=logx的不行。
(3)  由對數律,3y=3logxy=logx
(4)  左右取對數,得logx=log10y=y
(5)  左右取對數,得3logx=y33y

 

SOL:

(1)  n=2時,三邊長為2,3,4,則22+3242=3<0,所以T1為鈍角三角形。
(2)  因為Tn三邊長為公差為1的等差數列,故相加後的周長為公差等於3的等差數列。
(3)  代入面積公式可得Tn的面積為(3n+32)(n+32)(n+12)(n12),所以當n>1時,面積會隨著n而增加。
(4)  T5的三邊長分別為5,6,7,面積為9432=66,因此三高分別為1265,1266,1267,明顯不是等差數列。
(5)  T3的三邊長為3,4,5,故最大角為90,而由(1),T2的最大角為鈍角,因此T2的比較大。

 

SOL:

(1)  ¯yA=2¯xA0.6¯yA=25.20.6=9.8¯yB=1.5¯xB+0.4¯yA=1.56+0.4=9.4,故¯yA>¯yB
(2)  因為迴歸直線的斜率為m=rσyσx,所以A物種的體重標準差為20.30.6=1B物種的體重標準差為1.50.10.3=0.5,故A物種的體重標準差大於B物種的體重標準差。
(3)  8.69.81=1.2,所以相差了1.2個標準差。
(4)  由點到直線的距離公式,d(P,LA)=|25.60.68.6|5=25d(P,LB)=|1.55.6+0.48.6|3.25=2513d(P,LA)>d(P,LB)
(5)  令A(xA,yA)B(xB,yB),由兩點距離公式,¯AP=(5.65.2)2+(8.69.8)2=0.42+1.22 ¯BP=(5.66)2+(8.69.4)2=0.42+0.82¯AP>¯BP


SOL:

如圖所示

SOL:

(1)  P(a=b)=P(a=1,b=1)+P(a=2,b=2)=1612+1612=frac16
(2)  考慮Δ=|a61b|=ab6=0(a,b)=(6,1)(3,2)
但因為(a,b)=(6,1)時,聯立方程式為無限多組解,故無解的情況為(a,b)=(3,2),所以P(a=3,b=2)=112
(3)  P()=1P()P()=1112112=56
(4)  硬幣反面且方程組有解的情況為(a,b)=(1,2)(2,2)(4,2)(5,2)(6,2),共5種情況,每種機率為112,故此選項的機率為512
(5)  硬幣反面且方程組有解之下,x值為正的情況為(a,b)=(4,2)(5,2)(6,2),共3種情況,由條件機率,選項的機率為35

 

SOL:

(1)  變換後三頂點的坐標分別為A(3,0)B(1,0)C(3,0),顯然為鈍角三角形。
(2)  因為[30a1][10]=[10] [30a1][00]=[00] 故該選項正確。
(3)  由(1),a=0時,圖形顯然不通過第四象限。
(4)  因為detT=30,所以線性變換T為可逆變換,所以有一口圖形Ω變換為ABC
(5)  Γ的面積=detT×ABC=61=6,故面積是一個定值。


SOL:

甲、乙、丙三型手機利潤平均為100A+400B+240CA+B+C=260160A140B+20C=0
甲、乙的利潤平均為100A+400BA+B=280180A120B=0
所以,{160A140B=20C180A120B=0A:B:C=2:3:5

 

SOL:

由除法原理可得,{f(x)=(x22x+3)Q1(x)+x+1g(x)=(x22x+3)Q2(x)+x3h(x)=(x22x+3)Q3(x)2{xf(x)=(x22x+3)(xQ1(x))+x2+xag(x)=(x22x+3)(aQ2(x))+ax3abh(x)=(x22x+3)(bQ3(x))2b 
故三式相加可以被x22x+3整除,則x2+x+ax3a2b也要被x22x+3整除,所以a=3b=3

 

SOL:

中獎機率,P=10n=0.4%n=2500。 
抽完前100位後,剩下n=240045000元、58000元,故期望值E=50004+800052400=600002400=25

SOL:

|v|=d,因為(2,3)(3,2),則(d1)2+(d2)2=d2d=5d=1(不合)。
v(4,7)上的正射影長為 413×(2,3)(4,7)|(4,7)|+313×(3,2)(4,7)|(4,7)|=52+78135=255

SOL:

如圖所示,


SOL:

向量OQ(1,0,0)的夾角等同於平面法向量(1,0,1)(1,0,0)的夾角,故cosα=(1,0,1)(1,0,0)|(1,0,1)|×|(1,0,0)|=22

SOL:

cosθ=(a,b,c)(1,0,0)a2+b2+c2×1=aa2+b2+c2cosπ6=322a3(a2+b2+c2)
兩邊平方 
4a23(a2+b2+c2)a23(b2+c2)

SOL:

因為P(a,b,c)在平面E上,所以ac=4。承上題,a23(02+c2)(c+4)23c22c28c160c24c80,故223c2+23因為¯OP=a2+c2=(c+4)2+c2=2c2+8c+16,故該c的二次函數的頂點位於c=82×2=2,而且2<223,所以¯OP的最小值發生在c=223時,此時¯OP=(623)2+(223)2=4423=434







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