112學年度 全國公私立分科測驗 模擬考 數甲（B卷） 試題詳解

 

112年度 全國公私立分科 模考 數甲（B卷） 試題 詳解

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$

 

SOL：

答案：(5)

因為$\frac{1}{3}\vec c =\frac{1}{3}(3\vec a+ 2\vec b)=\vec a+\frac{2}{3}\vec b$，故$\vec c 平行 (\vec a+\frac{2}{3}\vec b)$。

 

SOL：

答案：(4)。

三角形的位置圖如下所示，直線要與之有共三交點，上下兩三角形交點數為$(1,2)或(2,1)$。

 

1.若交點為點$A$，則$m_{AD}=8$，$m_{AF}=-1$，故$m>8或m<-1$。

2.若交點為點$B$，不會有三交點。

3.若交點為點$C$，則$m_{CD}=2$，$m_{CF}=-3$，故$m>2或m<-3$。

4.若交點為點$D$，則$m_{DA}=8$，$m_{DC}=2$，故$2<m<8$。

5.若交點為點$E$，不會有三交點。

6.若交點為點$F$，則$m_{FC}=-3$，$m_{FA}=-1$，故$-3<m<-1$。

故取聯集後最大範圍為$m>2或m<-1$。

 

SOL：

答案：(3)(4)(5)

SOL：

答案：(1)(2)(3)

SOL：

答案：(1)(2)(3)(4)

SOL：

答案：(3)(4)

SOL：

答案：(2)(5)

SOL：

答案：$2\sqrt{3}：3+\pi$

SOL：

答案：$38640$

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SOL：

答案：$21$

取一球的期望值等於$1\cdot\frac{1}{55}+2\cdot\frac{2}{55}+3\cdot\frac{3}{55}+\cdots+10\cdot\frac{10}{55}=\frac{1^2+2^2+\cdots+10^2}{55}=7$。

故取三球的期望值等於$7\cdot3=21$。# 

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SOL：

答案：(3)

兩平面一定不會平行，所以必相交於一直線。# 

SOL：

$\cases{ 5y-z=-1-3t \\ -y+4z=11-t }\Rightarrow \cases{ 20y-4z=-4-12t \\ -y+4z=11-t }$，兩式相加算得$y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t$，且$z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t$

故$L：\cases{x=t \\ y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t   ,t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t}$#

 

SOL：

$L：\cases{x=t \\ y=\frac{7}{19}-\frac{13}{19}t   ,t\in \mathbb{R}\\ z=\frac{54}{19}-\frac{8}{19}t}$

代入$E_3：x+7y+az+23=0$，可算得$(72+8a)t-486-54a=0$，任何實數$t$等號均成立，所以$a=-9$。#

代入$E_4：bx+20y-23z+58=0$，可算得$(19b-76)t=0$，等號不能對任何實$t$都成立，所以$b\neq4$。#

 

SOL：

正焦弦長等於$\frac{2b^2}{a}=\frac{6}{2}=3$。#

SOL：

$\triangle QF_1F_2的周長=(\overline{QF_1}+\overline{QF_2})+\overline{F_1F_2}=2a+2\sqrt{a^2-b^2}=2a+2\sqrt{a^2-a}$。

其中，$a^2-a>0$，故$a>1$。# 

SOL：

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SOL：

答案：D 

$$\cases{x^2+\sqrt{3}y=4 \\ y^2+\sqrt{3}x=4}$$

兩式相減，算得$x+y=\sqrt{3}\Rightarrow x^2+2xy+y^2=3$。

兩式相加，算得$x^2+y^2+\sqrt{3}(x+y)=8\Rightarrow 3-2xy+3=8\Rightarrow xy=-1$

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2+x^2}{xy}=\frac{3+2}{-1}=-5$。#

SOL：

答案：A

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SOL：

答案：B

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SOL：

答案：B

解析：愈先被算平均，除以$2$的次數愈多，所以先從數字小的算平均。

$\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{\frac{3}{2}+3}{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}+4}{2}=\frac{25}{8}\Rightarrow \frac{\frac{25}{8}+5}{2}=\frac{65}{16}\Rightarrow \frac{\frac{65}{16}+6}{2}=\frac{161}{32}\Rightarrow \frac{\frac{161}{32}+7}{2}=\frac{385}{64}\Rightarrow \frac{\frac{385}{64}+8}{2}=\frac{897}{128}\Rightarrow \frac{\frac{897}{128}+9}{2}=\frac{2049}{256}$。# 

SOL：

答案：A

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SOL：

答案：$(1-,2)$

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SOL：

答案：$-\sqrt{2}$

$f(x)=2\cos^2x+\sin2x-2\sin2x\cos2x$$=\cos 2x+1 +\sin 2x -2\sin 2x \cos 2x -\sin^2 2x -\cos^2 2x +1$$=-(\sin2x+\cos2x)^2+(\sin2x+\cos2x) +2$

因為$-\sqrt{2}\leq \sin2x+\cos2x \leq \sqrt{2}$，則當$\sin2x+\cos2x=-\sqrt{2}$時，$f(x)$有最小值$-\sqrt{2}$。#

 

SOL：

答案：$9+\sqrt{141}$

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SOL：

答案：$\frac{1012}{2023}$

當擦去的數為奇數時，則甲每次僅刪去一個奇數，則最後剩下必為兩偶數，甲必勝。

當擦去的數為偶數時，則可將剩下的正整數，以兩連續正整數分為一組。

例如擦去$8$號，則分組為$(2,3)、(4,5)、(6,7)、(9,10)、(11,12)、\cdots、(2023,2024)$ ，此時甲刪去任何一數，乙就把同組的另一個數字刪除，則最後剩將會是某一組裡的兩個連續正整數。

因為$n、n+1$必互質，故乙必勝。

所以乙勝的機率等於初始擦去偶數的機率，$\frac{1023}{2023}$。#

SOL：

答案：無限多解

註：本題官方更正答案為無限多解 

取$n=11、11\cdots11$二十個$1$、$11\cdots11$二百個$1$、$11\cdots11$二千個$1$，依此類推。

則有無限多個$n$，使得$S(S(n))=2$。

SOL：

答案：$4320$

註：本題官方答案錯誤，正確答案為$4320$ 

利用取拾原理，任意選語言-選一個共同的其它任選+選兩個共同的其它任選-選三個共同的。

$(C^5_3)^4-C^5_1 (C^4_2)^4+C^5_2 (C^3_1)^4-C^5_3=10000-6480+810-10=4320$。#

SOL：

(1)當$n=1$，$a_1=\frac{1}{1}$，故$\alpha_1=\beta_1=1$均為奇數成立。

設當$n=k$時，$a_k=\frac{\alpha_k}{\beta_k}$，$\alpha_k、\beta_k$均為奇數。

當$n=k+1$時，$a_{k+1}=2+\frac{1}{a_k}=\frac{2\alpha_k+\beta_k}{\alpha_k}$，則$\alpha_{k+1}=2\alpha_k+\beta_k$為奇數，且$\beta_{k+1}=\alpha_k$亦為奇數。

由數學歸納法得證。#

 

(2) 

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112學年度 全國公私立分科測驗 模擬考 數甲（A卷） 試題詳解

 

112年度 全國公私立分科 模考 數甲（A卷） 試題 詳解

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$

SOL：

答案：(5)

因為$\frac{1}{3}\vec c =\frac{1}{3}(3\vec a+ 2\vec b)=\vec a+\frac{2}{3}\vec b$，故$\vec c 平行 (\vec a+\frac{2}{3}\vec b)$。

SOL：

答案：(4)。

三角形的位置圖如下所示，直線要與之有共三交點，上下兩三角形交點數為$(1,2)或(2,1)$。

1.若交點為點$A$，則$m_{AD}=8$，$m_{AF}=-1$，故$m>8或m<-1$。

2.若交點為點$B$，不會有三交點。

3.若交點為點$C$，則$m_{CD}=2$，$m_{CF}=-3$，故$m>2或m<-3$。

4.若交點為點$D$，則$m_{DA}=8$，$m_{DC}=2$，故$2<m<8$。

5.若交點為點$E$，不會有三交點。

6.若交點為點$F$，則$m_{FC}=-3$，$m_{FA}=-1$，故$-3<m<-1$。

故取聯集後最大範圍為$m>2或m<-1$。

 

SOL：

答案：(3)(4)(5)

(1)$f(-x)=-\cos (-x)-\frac{3}{2\cos(-x)}=-\cos x -\frac{3}{2 \cos x}=f(x)$，所以$y=f(x)$為偶函數。

(2)

SOL：

答案：

SOL：

答案：

SOL：

答案：

SOL：

答案：

SOL：

答案：

SOL：

答案：

官方試題詳解下載：112 全模（南一）分科 模考 數甲（A卷） 官方詳解

112學年度 中區分科測驗 模擬考 數甲 試題詳解

 

112年度 中區分科 模考 數甲 試題 詳解

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SOL：

答案：(3)

數據最集中是另外八科均為平均分數，此時平均分數為$70$分，故$\sigma=\sqrt{\frac{(100-70)^2+(40-70)^2}{10}}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13.4$，所以$k$最接近$13$。#

SOL：

答案：(5)

(1)$\int_1^2(x^2)^2\pi dx=\frac{x^5}{5}\pi|_1^2=\frac{31}{5}\pi$。

(2)$\int_1^2(-x^2+4)^2\pi dx=\pi (\frac{x^5}{5}-\frac{24x^3}{3}+16x)|_1^2=\frac{53}{15}\pi$。

(3)$\int_1^2(x^3-x)^2\pi dx=\pi (\frac{x^7}{7}-\frac{2x^5}{5}+\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{848}{105}\pi$

(4)$y=|x+1|+|x-2|$的函數圖形如下

繞$x$軸的旋轉體為半徑為$3$、高為$1$的圓柱體，故體積為$9\pi$。

(5)$\int_1^2(\sqrt{12-x^2})^2\pi dx=\pi (12x-\frac{x^3}{3})|_1^2=\frac{29}{3}\pi$

所以體積最大值為選項(5)。

SOL：

答案：(1)

令$P(x,y)$，則$| \vec{OA}\cdot \vec{OP}|=16\Rightarrow (3,4)\cdot(x,y)=\pm 16$，故點$p$落在直線$3x+4y=16或3x+4y=-16$上。

圓$(x+2)^2+(y-5)^2=36$與直線$3x+4y=16$，$3x+4y=-16$相交的情況如下圖

所求即為$\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}d(L_1,L_2)\cdot \overline{P_2P_3}$。

$d(L_1,L_2)=\frac{|16+16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{32}{5}$。

$d(C,L_2)=\frac{|3\cdot(-2)+4\cdot5-16|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{2}{5}$，所以$\overline{P_2P_3}=2\sqrt{6^2-(\frac{2}{5})^2}=\frac{16}{5}\sqrt{14}$。

因此所求$\triangle P_1P_2P_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{32}{5}\cdot\frac{16}{5}\sqrt{14}=\frac{256}{25}\sqrt{14}$。

SOL：

答案：(2)(5)

(1)期望值$E=\frac{3\cdot(1+2+3+4+5)}{15}=3$。

(2)等差數列的三數為

SOL：

答案：(1)(3)(5)

(1)因為$b$為正數，且$b^2>b^3$，所以$b<1$。而且$b^2>a^2$，所以$a<b<1$。

(2)因為$a<b\Rightarrow -a>-b\Rightarrow 2^{-a}>2^{-b}$。

(3)$a^{\log_a^b}=b$，$a<1\Rightarrow \log a<0\Rightarrow b^{\log a}>1$，故$b^{\log a}>1>b=a^{\log_a^b}$。

(4)$\log (a+1)^b=b\log (a+1)>0$，$\log a^{b+1}=(b+1)\log a<0$，故$\log (a+1)^b>0>\log a^{b+1}$。

(5)因為$0<a<b<1$，所以$0<a<b<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi<a<b<\frac{3\pi}{2}$，故$\sin (\pi+a)>\sin (\pi+a)$。

SOL：

答案：$10$

令$\angle DAO=\theta$，

SOL：

答案：$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi+\frac{3}{2}$

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SOL：

答案：$-1和2$

$x^3-2=2x^3-3x-4\Rightarrow x^3-3x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)^2=0$，故$x=-1$或$x=2$。

SOL：

答案：$\frac{27}{4}$

$\int_{-1}^2(x^3-2)-(2x^3-3x-4) dx=\int_{-1}^2x^3-3x-2 dx=(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x)|_{-1}^2=\frac{27}{4}$。

SOL：

答案：$0$

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