114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
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一、 填充題（15 題，每題 5 分，合計 75 分）
題目 1
求 $f(x) = x^{15} + 3x^{10} - x^5 - 2$ 除以 $x^4 - x^2$ 之餘式為何？
答：
$3x^2 - 2$
詳解
設餘式 $r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$
