硬幣投擲正反面統計工具

【前言】

機率總是覺得抽象嗎？數學公式裡的期望值與變異數，在實際隨機實驗中到底長什麼樣子？

透過下方的互動工具，你可以親自設定投擲次數 $n$，觀察「正面次數」如何隨機跳動。除了直觀的比例外，我們特別計算了樣本變異數，讓你實際體會數據的離散程度。試著比較投擲 10 次與 1000 次，觀察結果有什麼不同吧！

二項分布實驗室：硬幣投擲正反面統計工具

正

反

設定實驗次數 $n$：

正面次數：0

反面次數：0

正面比例：0%

反面比例：0%

本次投擲出的樣本變異數：0.0000

精選試題

題目：假設投擲一枚公正硬幣 $n$ 次，令隨機變數 $X$ 代表正面出現的總次數。試求 $X$ 的期望值 $E(X)$ 與變異數 $Var(X)$ 的公式解。

答：$E(X) = 0.5n$；$Var(X) = 0.25n$。

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詳解：

1. 期望值 $E(X)$： 公式為 $np$。在公正硬幣（$p=0.5$）的狀況下，期望總次數為次數的一半。
2. 變異數 $Var(X)$： 公式為 $npq$。此處 $Var(X) = n \times 0.5 \times 0.5 = 0.25n$，描述了總次數 $X$ 的離散程度。
3. 觀念連結： 工具中顯示的是樣本比例的變異性 $\hat{p}(1-\hat{p})$。當次數 $n$ 越大，觀察到的變異數會越穩定地趨近於 $0.25$。

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