紅白球取球模擬實驗

【前言】

袋子裡面有紅、白色的球，我們用三種方式取球。請問取到紅球數量的期望值會因為取法不同而改變嗎？
1. 一次取出 | 2. 逐次取，不放回 | 3. 逐次取，放回

紅白球取球模擬實驗

紅球數量

白球數量

取出球數 (上限：20)

法一：一次取出

紅球數：0

法二：取後不放回

紅球數：0

法三：取後放回

紅球數：0

精選題目

題目：袋中有 15 顆白球與 5 顆紅球，隨機取出 3 球，求取出紅球數量 $X$ 的期望值 $E(X)$：

(1) 一次取出 3 球

$E(X) = 0 \cdot \frac{C^{5}_{0}C^{15}_{3}}{C^{20}_{3}} + 1 \cdot \frac{C^{5}_{1}C^{15}_{2}}{C^{20}_{3}} + 2 \cdot \frac{C^{5}_{2}C^{15}_{1}}{C^{20}_{3}} + 3 \cdot \frac{C^{5}_{3}C^{15}_{0}}{C^{20}_{3}}$
$= \frac{0 \cdot 455 + 1 \cdot 525 + 2 \cdot 150 + 3 \cdot 10}{1140} = \frac{855}{1140} = \mathbf{0.75}$

(2) 逐次取出 1 球，取後不放回

考慮順序，分母為 $P^{20}_{3} = 6840$：
$E(X) = \frac{0 \cdot (15 \cdot 14 \cdot 13) + 1 \cdot (3 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 14) + 2 \cdot (3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 15) + 3 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3)}{6840}$
$= \frac{0 + 3150 + 1800 + 180}{6840} = \frac{5130}{6840} = \mathbf{0.75}$

(3) 逐次取出 1 球，取後放回

單次取中紅球機率 $p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$，白球機率 $q = \frac{3}{4}$。
各項機率使用分數表示（分母皆為 $4^3 = 64$）：
$P(X=0) = C^{3}_{0}(\frac{1}{4})^0(\frac{3}{4})^3 = \frac{1 \cdot 1 \cdot 27}{64} = \frac{27}{64}$
$P(X=1) = C^{3}_{1}(\frac{1}{4})^1(\frac{3}{4})^2 = \frac{3 \cdot 1 \cdot 9}{64} = \frac{27}{64}$
$P(X=2) = C^{3}_{2}(\frac{1}{4})^2(\frac{3}{4})^1 = \frac{3 \cdot 1 \cdot 3}{64} = \frac{9}{64}$
$P(X=3) = C^{3}_{3}(\frac{1}{4})^3(\frac{3}{4})^0 = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{64} = \frac{1}{64}$

期望值推導：
$E(X) = 0 \cdot (\frac{27}{64}) + 1 \cdot (\frac{27}{64}) + 2 \cdot (\frac{9}{64}) + 3 \cdot (\frac{1}{64})$
$= \frac{0 + 27 + 18 + 3}{64} = \frac{48}{64} = \frac{3}{4} = \mathbf{0.75}$

結論：無論取法為何，結果皆為 0.75 球。