115學年度 國立中興大學附屬高級中學 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

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第壹部分、填充題（每題 6 分，共 60 分）

題目 1

設 $z$ 為複數且 $|z|=1$，求 $|z^2+2z-2|$ 的最大值。

答：

$\frac{3\sqrt{6}}{2}$

詳解

(1) 代數化簡與參數化：

欲求 $|z^2+2z-2|$，利用 $|z|=1$ 的性質，可提取 $|z|$ 得：
$|z^2+2z-2| = |z| \cdot |z + 2 - \frac{2}{z}| = |z - \frac{2}{z} + 2|$
令 $z = \cos\theta + i\sin\theta$，則 $\frac{1}{z} = \bar{z} = \cos\theta - i\sin\theta$。

(2) 展開計算：

將參數代入式中：
$|(\cos\theta + i\sin\theta) - 2(\cos\theta - i\sin\theta) + 2|$
$= |-\cos\theta + 3i\sin\theta + 2|$
$= |(2 - \cos\theta) + 3i\sin\theta|$
其值為：
$\sqrt{(2 - \cos\theta)^2 + (3\sin\theta)^2}$
$= \sqrt{4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta + 9\sin^2\theta}$
利用 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 變換：
$= \sqrt{4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta + 9(1 - \cos^2\theta)}$
$= \sqrt{-8\cos^2\theta - 4\cos\theta + 13}$

(3) 求極值：

令 $f(\cos\theta) = -8\cos^2\theta - 4\cos\theta + 13$。這是一個開口向下的二次函數。
頂點發生在 $\cos\theta = -\frac{-4}{2(-8)} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$ 時。
將 $\cos\theta = -\frac{1}{4}$ 代入：
$f(-\frac{1}{4}) = -8(\frac{1}{16}) - 4(-\frac{1}{4}) + 13 = -\frac{1}{2} + 1 + 13 = \frac{27}{2}$。
故最大值為 $\sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$。$\square$

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一、 填充題（每格 8 分，共 72 分）

題目 1

已知函數 $f(x)=a\sin x+b\cos x+c$  ($0\le x < 2\pi)$ 的最大值為 7，最小值為 3，且最大值發生在 $x=\frac{\pi}{3}$，則序對 $(a,b,c)=$ ________。

答：

$(\sqrt{3}, 1, 5)$

詳解

1. 函數疊合與參數設定：
將函數進行疊合：$y - c = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \theta)$。

2. 求中心值 $c$ 與振幅：
根據最大值 7 與最小值 3：
中心值 $c = \frac{7+3}{2} = 5$。
振幅 $\sqrt{a^2+b^2} = \frac{7-3}{2} = 2$。

3. 利用最大值發生的相位求 $\theta$：
題目已知當 $x = \frac{\pi}{3}$ 時有最大值，此時正弦函數相位應為 $\frac{\pi}{2}$：
$\frac{\pi}{3} + \theta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$。

4. 帶回函數式展開：
$y - 5 = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$
利用和角公式展開：
$y - 5 = 2 (\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6})$
$y - 5 = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$
$y - 5 = \sqrt{3} \sin x + 1 \cdot \cos x$
對照係數可得 $a = \sqrt{3}, b = 1, c = 5$。
故序對 $(a,b,c) = (\sqrt{3}, 1, 5)$。

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一、 填充題甲（每題 5 分，共 20 分）

題目 1

設 $a, b, c$ 皆為正整數，且 $a < b < c$ 。已知 $a+b+c+ab+ca = 376$ ，則序對 $(a, b, c) = $ ________。

答：

(12, 13, 15) 

詳解

1. 強迫因式分解技巧：
觀察原式 $a+b+c+ab+ca = 376$，我們可以將含 $a$ 的項與其餘項分離：
$a(1+b+c) + (b+c) = 376$。

2. 等量公理調整：
為了構造出共同公因式 $(b+c+1)$，我們將方程式兩邊同時加 1：
$a(b+c+1) + (b+c+1) = 376 + 1$
$(a+1)(b+c+1) = 377$。

3. 討論整數解：
將 377 進行質因數分解：$377 = 13 \times 29$。
由於 $a, b, c$ 為正整數且 $a < b < c$，故 $a+1 \ge 2$ 且 $b+c+1 \ge 6$。
已知 $b+c+1 > a+1$，考慮以下情況：
$\begin{cases} a+1 = 13 \\ b+c+1 = 29 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 12 \\ b+c = 28 \end{cases}$。

4. 篩選序對：
滿足 $12 < b < c$ 且 $b+c=28$ 的正整數序對只有 $(b, c) = (13, 15)$。
（註：若 $b=14, c=14$ 則不符合相異且 $b < c$ 的條件）。

故序對 $(a, b, c) = (12, 13, 15)$。

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一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）

題目 1

有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。

答：

$\sqrt{2}-1$

詳解

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113年 師大附中 教師甄試詳解

試題講解影片點擊：YOUTUBE頻道

考題討論直播：113/04/06(日) 8：00 直播頻道連結

※官方試題、答案下載連結請移至文章最下面※

答案：$3$

SOL：

原式可整理為$x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$，因為$x>0$，所以$x=-1$不合，故所有解之和為$2+1=3$。#