115學年度 國立陽明交大附中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解

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一、 填充題（每題 6 分，共 78 分）

題目 1

有一邊長為 $\sqrt{2}$ 的正八邊形 $ABCDEFGH$，設點 $P$ 為 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，點 $Q$ 為 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BG}$ 的交點，則三角形 $APQ$ 的面積為 ________。

答：

$\sqrt{2}-1$

詳解

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答案：$3$

SOL：

原式可整理為$x^3-2x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x-1)(x+1)=0$，因為$x>0$，所以$x=-1$不合，故所有解之和為$2+1=3$。#

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$

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SOL：

答案：D 

$$\cases{x^2+\sqrt{3}y=4 \\ y^2+\sqrt{3}x=4}$$

兩式相減，算得$x+y=\sqrt{3}\Rightarrow x^2+2xy+y^2=3$。

兩式相加，算得$x^2+y^2+\sqrt{3}(x+y)=8\Rightarrow 3-2xy+3=8\Rightarrow xy=-1$

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2+x^2}{xy}=\frac{3+2}{-1}=-5$。#

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SOL：

答案：(2)

$a=\log_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}<0$

$b=\log_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{3}}=\log_2^3<\log_2^4=2$

$c=5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{2}}=2$

$d=(\frac{1}{2})^5<1$

故$c>2>b>1>d>0>1$