從 AI 的錯誤中找靈感：用托勒密定理與裂項相消破解三角函數難題
最近在撰寫 115 學年度高雄市教師聯合甄選詳解時，遇到一道相當有意思的三角函數題。一開始我嘗試利用傳統三角恆等式處理，結果越算越長，始終找不到一條漂亮的路徑。後來乾脆把題目丟給 AI 試試看，沒想到 AI 竟然算錯了。
不過有趣的是，雖然答案錯了，但它的推導過程反而給了我一個靈感，最後竟然找到一個非常漂亮的裂項相消（Telescoping）解法。今天就一起來看看這道題目。
2026年6月10日 星期三
2026年6月4日 星期四
假設檢定是什麼？108課綱教了拒絕域，卻沒告訴你它真正想解決的問題
這學期的數學科教學研究會，科召集人請我針對 108 課綱高三數甲新加入的單元——「假設檢定」，向科內老師進行分享。為此，我仔細研讀了課本對該單元的介紹。真的是不看不知道，一看嚇一跳！看完後的感想是：現行課綱似乎壓根沒有打算教會學生「什麼是假設檢定」。
假設檢定被安排在二項分布之後，課本讀起來的感覺，僅是將其視為二項分布在生活應用中的延伸，彷彿只是為了說明二項分布很有用。至於假設檢定背後的「數學理論」、「操作注意事項」以及「產生的誤差風險」等核心議題，課本幾乎隻字未提。這不禁讓我懷疑：108 課綱真的有打算讓學生理解假設檢定嗎？
2026年6月3日 星期三
評校事會議懲處「千年殺」受害教師：當拍肩叫醒算性騷擾，學生戳肛門算不算性平事件？
日前在 Threads 上有一篇關於校事會議判決書內容的貼文引發熱烈討論。看完流出的紀錄後，許多人討論的是老師在當下的反應是否過當；然而，站在第一線教育工作者與法理的視角來看，我心裡其實只有一個更根本的疑問：這起事件，難道不涉及性平問題嗎？
流出的判決書原文指出：
「即使被行為人（學生）是故意戳行為人（老師）屁股，甚至是戳中肛門，身為老師還是不應有傷害學生的行為。」
看到這段內容時，相信不少第一線教育工作者都會產生類似的困惑：如果學生是刻意對老師做出這樣的身體接觸行為，那麼除了討論老師後續的反應之外，學生的行為本身是否也應該被納入性平事件的檢視範圍？
2026年5月26日 星期二
為什麼老師總能想出為難學生的難題？一題看懂如何用「出題者視角」將幾何代數秒殺！
今天我們來聊聊一個話題：數學老師到底是怎麼設計題目的？為什麼老師們總能想出那些看似精妙、卻把學生為難到不行的難題呢？😏
前幾天我在看李翰老師的 YouTube 頻道影片，裡面講解了一道非常漂亮的題目：
【經典試題再現】
已知直角三角形三邊長滿足 $a^2+b^2=c^2$，且滿足： $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = \frac{17}{20}$$ 求 $\frac{a}{b}$ 的值。
已知直角三角形三邊長滿足 $a^2+b^2=c^2$，且滿足： $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = \frac{17}{20}$$ 求 $\frac{a}{b}$ 的值。
2026年5月21日 星期四
部落格申請 AdSense 慘遭拒絕？「缺乏價值內容」背後，AI 時代自媒體獲利的新生存法則
失敗了。努力經營部落格，滿心期待地發布了 30 多篇高中的學測、模考以及難度極高的教師甄選（教甄）數學科試題詳解。原本以為這樣的內容體量與專業度，足夠順利開通部落格的廣告盈利資格，哪知道在經歷了兩個星期的漫長審核後，最後迎來的，卻是 Google 官方以「缺乏價值的內容」（Low Value Content）為由，冷冷地給了我一記退件。
看到這個結果，內心滿滿都是問號：為什麼自己辛辛苦苦手寫詳解、甚至費盡心思打成 HTML 網頁語法，一直在修錯、修錯、再修錯，怎麼就變成「沒價值」了？
2026年5月7日 星期四
一番賞中的數學力
💡 前言：一番賞中的數學力
近年「一番賞」在台灣非常熱門，許多玩家為了抽中最後賞或集滿全套公仔不惜重金。但你有沒有學過，如果要集滿特定款式的公仔，平均到底要抽多少次？
假設今天有一款一番賞，內含 A、B、C、D 四種公仔，剩下的籤數分別為 2支、3支、4支、10支。小明想要集滿這四種公仔各至少一個，他需要抽取的次數期望值是多少呢？
在進入繁瑣的理論計算之前，不妨先透過底下的 YY Math 模擬工具 實測看看！你可以設定不同的重複次數，親眼見證機率如何在「大數法則」下趨近於真實的期望值。
2026年5月3日 星期日
北一女中 108學年度第二學期期末考 高一數學科試題與詳解
北一女中 108學年度第二學期期末考 高一數學科試題與詳解
一、 是非題（每題 2 分，共 10 分）
題目 1
正九邊形的對角線共有 36 條。
答：
❌
詳解
$n$ 邊形對角線共有 $C^n_2 - n$ 條。
正九邊形對角線為 $C^9_2 - 9 = 36 - 9 = 27$ 條。題目敘述為 36 條，故錯誤。
正九邊形對角線為 $C^9_2 - 9 = 36 - 9 = 27$ 條。題目敘述為 36 條，故錯誤。
115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解
115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解
✅
本卷詳解已全數製作完畢！
感謝您的耐心等待，若有任何解法上的疑問，歡迎在下方留言討論。
一、 填充題（每題 7 分，共 70 分）
題目 1
與 $115$ 互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：$1, 2, 3, 4, 6, 7, \dots$，試問此數列第 $2026$ 項為何？
答：
2647
詳解
1. 首先將 $115$ 質因數分解：$115 = 5 \times 23$。
2. 利用排容原理計算 $1$ 到 $115$ 中與 $115$ 互質的個數：
$\phi(115) = 115(1 - \frac{1}{5})(1 - \frac{1}{23}) = 115 \times \frac{4}{5} \times \frac{22}{23} = 88$。
3. 我們找第 $2026$ 項：$2026 = 88 \times 23 + 2$。
4. 這代表經過了 $23$ 個週期（每個週期 $115$），剩下的第 $2$ 個數是 $2$。
所求 $= 115 \times 23 + 2 = 2645 + 2 = 2647$。
相關影片
2026年4月30日 星期四
📚 數學資源總匯目錄
歡迎來到 YY Math！這裡整理了我在教學、備課與解題過程中累積的數學資源。 從高中段考試題、單元觀念整理，到數學專題與學習心得， 希望能幫助大家不只是把題目算出來，更能理解數學背後的思考方式。 建議收藏本頁，未來新增內容都會陸續整理在這裡。
🏫 各校段考題
收錄各校段考與精選試題詳解。 除了提供答案之外，也盡量呈現完整的解題思路與觀念分析， 讓每一道題目不只是做完，而是真的看懂。
📐 數學單元觀念分類
依照課綱單元整理相關內容， 方便依照主題查找資料，也適合作為考前複習與觀念統整的參考。
- 【排列組合】 排列組合試題整理與詳解
💡 數學知識補給站
這裡會陸續整理一些課本之外的數學觀念、教學思考與學習心得。 有些內容來自課堂上的提問，有些則是備課過程中的延伸探索。
- 【數學專題】 假設檢定是什麼？108課綱教了拒絕域，卻沒告訴你它真正想解決的問題
- 【數學專題】 為什麼老師總能想出為難學生的難題？一題看懂如何用「出題者視角」將幾何代數秒殺！
- 【數學專題】 從 AI 的錯誤中找靈感：用托勒密定理與裂項相消破解三角函數難題
✍️ 生活記事
偶爾記錄教學現場、頻道經營與生活中的一些想法。 數學之外，也留下一點屬於日常的痕跡。
- 【歪歪生活】 評校事會議懲處「千年殺」受害教師：當拍肩叫醒算性騷擾，學生戳肛門算不算性平事件？
- 【歪歪生活】 部落格申請 AdSense 慘遭拒絕？「缺乏價值內容」背後，AI 時代自媒體獲利的新生存法則
2026年4月29日 星期三
YY Math 數位教學實驗室
在準備數學考試或教甄的過程中，最花時間的往往不是理解觀念，而是那些重複計算、容易出錯的步驟。
YY Math 數位教學實驗室整理了一系列互動式數學工具，將
高中數學機率與統計、
期望值與隨機模擬，
以及專為教師設計的
薪資與情境試算工具
整合在同一個平台中。
這些工具的目的不是取代思考，而是幫助你快速驗證想法、減少計算錯誤，把時間留給真正重要的理解與解題策略。
無論你是正在準備 115 學年度教甄 的老師，還是正在練習機率與期望值的學生，都可以在這裡找到適合的工具來輔助學習。
常見搜尋：高中數學機率工具、期望值計算器、二項分布模擬、收集問題實驗、教甄薪資試算、數學互動學習工具、YY Math 教學資源。
2026年4月28日 星期二
高中數學教甄詳解：115、113年度各校教甄試題、答案、影音解說彙整目錄
本站長期追蹤並整理全台高中數學教師甄選 (教甄) 資訊，提供包含 115學年度 最新考題以及歷年各校的數學科試題、答案與深度詳解。目錄依學年度進行精準分類，協助準教師們高效備考，是您準備數學教甄最專業的資源庫。
更新中
115
學年度教甄試題
115學年度 國立陽明交大附中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 臺中一中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 臺北市立第一女子高級中學 第1次教師甄選 數學科試題與詳解題
115學年度 國立中興大學附屬高級中學 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 臺中市立臺中女中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 國立麗山高中 教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 北市立建國高中 教師甄選 數學科試題與詳解
114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 國立羅東高中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 臺北市立中正高級中學 第1次專任教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 新北市公立高級中等學校 教師聯合甄選 數學科試題與詳解
共 3 份
113
學年度教甄試題
2026年4月26日 星期日
2026最新！114-115年公立教師薪資試算工具（含超鐘點、導師費、特教津貼）
教師薪資與職涯試算工具
數據來源：114.01.01 公立學校教師待遇標準表 (含最新調升)
3. 職務加給 / 津貼 (依薪額自動計算)
4. 超鐘點計算 (非必填)
節 / 每週
* 註：超鐘點以估計值計算(月4週/年36週)，實領金額以實際上課堂數而定。
2026年4月24日 星期五
2026年4月23日 星期四
硬幣投擲正反面統計工具
【前言】
機率總是覺得抽象嗎？數學公式裡的期望值與變異數，在實際隨機實驗中到底長什麼樣子？
透過下方的互動工具，你可以親自設定投擲次數 $n$，觀察「正面次數」如何隨機跳動。除了直觀的比例外，我們特別計算了樣本變異數，讓你實際體會數據的離散程度。試著比較投擲 10 次與 1000 次，觀察結果有什麼不同吧！
2026年4月22日 星期三
115學年度 臺北市立中正高級中學 第1次專任教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 臺北市立中正高級中學 第1次專任教師甄選 數學科試題與詳解
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一、 填充題（每題 6 分）
題目 1
等差數列 $\{a_n\}$ 滿足 $a_7=1$ 且公差 $d > 0$，若 $\sum_{k=1}^{11} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1} \cdot a_{k+2}} = 11$，則公差 $d =$ ________。
答：
$\frac{\sqrt{61}}{30}$
2026年4月16日 星期四
115學年度 國立羅東高中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
115學年度 國立羅東高中 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
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一、 填充題（共 16 題，每題 5 分，合計 80 分）
題目 1
設 $a, b, c \in \mathbb{R}$，且 $abc=1$，$ab+bc+ca-3abc=0$，$a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$，求 $\frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} + \frac{1}{1-ab}$ 之值。
答：
$1$
2026年4月7日 星期二
115學年度 排列組合試題整理與詳解
115學年度 排列組合試題整理與詳解
一、 試題與簡答
1.
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有 ________ 種不同的排列。
【答：1392】
2026年4月2日 星期四
114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
114學年度 臺北市立松山家商 第1次教師甄選 數學科試題與詳解
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一、 填充題（15 題，每題 5 分，合計 75 分）
題目 1
求 $f(x) = x^{15} + 3x^{10} - x^5 - 2$ 除以 $x^4 - x^2$ 之餘式為何？
答：
$3x^2 - 2$
詳解
設餘式 $r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$
除式 $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$，故令 $x = 0, 0, 1, -1$ 代入：
1. $f(1) = 1+3-1-2 = 1 \implies a+b+c+d = 1$
2. $f(-1) = -1+3+1-2 = 1 \implies -a+b-c+d = 1$
3. $f(0) = -2 \implies d = -2$
4. $f'(x) = 15x^{14} + 30x^9 - 5x^4$，則 $f'(0) = 0 \implies c = 0$
由上列方程組可得：
$\begin{cases} a+b = 3 \\ -a+b = 3 \end{cases} \implies a=0, b=3$
解得 $a=0, b=3, c=0, d=-2$
故 $r(x) = 3x^2 - 2$
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